Question

17．設(shè)函數(shù)f（x）=-x³+2ex²-mx+lnx，若方程f（x）=x有解，則實(shí)數(shù)m的最大值是e²+$\frac{1}{e}$-1．

Answer 1

分析 根據(jù)條件先分離參數(shù)得m+1=$\frac{-x^3+2ex^2+lnx}{x}$（x＞0），再構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性和值域確定參數(shù)m的取值范圍．

解答 解：由f（x）=x分離參數(shù)m得，m+1=$\frac{-x^3+2ex^2+lnx}{x}$（x＞0），
構(gòu)造函數(shù)F（x）=$\frac{-x^3+2ex^2+lnx}{x}$=-x²+2ex+$\frac{lnx}{x}$，
F'（x）=2（e-x）+$\frac{1-lnx}{x^2}$，x＞0，
①當(dāng)x∈（0，e）時(shí)，e-x＞0，1-lnx＞0，所以，F(xiàn)'（x）＞0，F(xiàn)（x）單調(diào)遞增；
②當(dāng)x∈（e，+∞）時(shí)，e-x＜0，1-lnx＜0，所以，F(xiàn)'（x）＜0，F(xiàn)（x）單調(diào)遞減；
由此可知，F(xiàn)（x）在x=e處取得極大值，也是函數(shù)的最大值，
即F（x）_max=F（e）=e²+$\frac{1}{e}$，
所以，F(xiàn)（x）的值域?yàn)椋?∞，e²+$\frac{1}{e}$]，
因此，m+1∈（-∞，e²+$\frac{1}{e}$]，
所以，實(shí)數(shù)m的取值范圍為：（-∞，e²+$\frac{1}{e}$-1]．
故答案為：e²+$\frac{1}{e}$-1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)的零點(diǎn)與方程根存在的條件，涉及導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性和最值中的應(yīng)用，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想，屬于中檔題．