17.設(shè)函數(shù)f(x)=-x3+2ex2-mx+lnx,若方程f(x)=x有解,則實數(shù)m的最大值是e2+$\frac{1}{e}$-1.

分析 根據(jù)條件先分離參數(shù)得m+1=$\frac{-x^3+2ex^2+lnx}{x}$(x>0),再構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性和值域確定參數(shù)m的取值范圍.

解答 解:由f(x)=x分離參數(shù)m得,m+1=$\frac{-x^3+2ex^2+lnx}{x}$(x>0),
構(gòu)造函數(shù)F(x)=$\frac{-x^3+2ex^2+lnx}{x}$=-x2+2ex+$\frac{lnx}{x}$,
F'(x)=2(e-x)+$\frac{1-lnx}{x^2}$,x>0,
①當(dāng)x∈(0,e)時,e-x>0,1-lnx>0,所以,F(xiàn)'(x)>0,F(xiàn)(x)單調(diào)遞增;
②當(dāng)x∈(e,+∞)時,e-x<0,1-lnx<0,所以,F(xiàn)'(x)<0,F(xiàn)(x)單調(diào)遞減;
由此可知,F(xiàn)(x)在x=e處取得極大值,也是函數(shù)的最大值,
即F(x)max=F(e)=e2+$\frac{1}{e}$,
所以,F(xiàn)(x)的值域為(-∞,e2+$\frac{1}{e}$],
因此,m+1∈(-∞,e2+$\frac{1}{e}$],
所以,實數(shù)m的取值范圍為:(-∞,e2+$\frac{1}{e}$-1].
故答案為:e2+$\frac{1}{e}$-1.

點評 本題主要考查了函數(shù)的零點與方程根存在的條件,涉及導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性和最值中的應(yīng)用,體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想,屬于中檔題.

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