Question

2．如圖，在△ABC中，設(shè)$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow a$，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow b$，AP的中點(diǎn)為Q，BQ的中點(diǎn)為R，CR的中點(diǎn)為P，若$\overrightarrow{AP}=m\vec a+n\vec b$，則m、n對(duì)應(yīng)的值為 （　　）

• A． $\frac{2}{7}，\frac{4}{7}$
• B． $\frac{1}{2}，\frac{1}{4}$
• C． $\frac{1}{6}，\frac{2}{7}$
• D． $\frac{1}{6}，\frac{3}{7}$

Answer 1

分析 根據(jù)向量減法及數(shù)乘的幾何意義可以得出$\overrightarrow{BQ}=（\frac{m}{2}-1）\overrightarrow{a}+\frac{n}{2}\overrightarrow$，$\overrightarrow{CR}=（\frac{m}{4}+\frac{1}{2}）\overrightarrow{a}+（\frac{n}{4}-1）\overrightarrow$，這樣便可以求出$\overrightarrow{RQ}，\overrightarrow{QP}，\overrightarrow{RP}$，這樣根據(jù)$\overrightarrow{RQ}+\overrightarrow{QP}=\overrightarrow{RP}$，并進(jìn)行向量的數(shù)乘運(yùn)算便得到$（\frac{3m}{4}-\frac{1}{2}）\overrightarrow{a}+\frac{3n}{4}\overrightarrow=（-\frac{m}{8}-\frac{1}{4}）\overrightarrow{a}+（\frac{1}{2}-\frac{n}{8}）\overrightarrow$，由平面向量基本定理即可建立關(guān)于m，n的二元一次方程組，從而可以解出m，n．

解答 解：根據(jù)條件，$\overrightarrow{BQ}=\overrightarrow{AQ}-\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}（m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow）-\overrightarrow{a}=（\frac{m}{2}-1）\overrightarrow{a}+\frac{n}{2}\overrightarrow$；
$\overrightarrow{CR}=\overrightarrow{BR}-\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BQ}-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}[（\frac{m}{2}-1）\overrightarrow{a}+\frac{n}{2}\overrightarrow]-\overrightarrow+\overrightarrow{a}$=$（\frac{m}{4}+\frac{1}{2}）\overrightarrow{a}+（\frac{n}{4}-1）\overrightarrow$；
∴$\overrightarrow{QP}=\frac{m}{2}\overrightarrow{a}+\frac{n}{2}\overrightarrow$，$\overrightarrow{RQ}=（\frac{m}{4}-\frac{1}{2}）\overrightarrow{a}+\frac{n}{4}\overrightarrow$，$\overrightarrow{RP}=-（\frac{m}{8}+\frac{1}{4}）\overrightarrow{a}+（\frac{1}{2}-\frac{n}{8}）\overrightarrow$；
∵$\overrightarrow{RQ}+\overrightarrow{QP}=\overrightarrow{RP}$；
∴$（\frac{3m}{4}-\frac{1}{2}）\overrightarrow{a}+\frac{3n}{4}\overrightarrow=（-\frac{m}{8}-\frac{1}{4}）\overrightarrow{a}+（\frac{1}{2}-\frac{n}{8}）\overrightarrow$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3m}{4}-\frac{1}{2}=-\frac{m}{8}-\frac{1}{4}}\\{\frac{3n}{4}=\frac{1}{2}-\frac{n}{8}}\end{array}\right.$；
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{2}{7}}\\{n=\frac{4}{7}}\end{array}\right.$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 考查向量的加法、減法，及數(shù)乘的幾何意義，以及向量的數(shù)乘運(yùn)算，平面向量基本定理．