分析 (1)取AD中點(diǎn)F,連結(jié)PF,CF,則AE∥CF,即∠PCF為異面直線PC與AE所成角.由PA⊥AB,PA⊥AD得出PA⊥平面ABCD,利用勾股定理求出△PCF的三條邊,利用余弦定理求出∠PCF;
(2)四棱錐P-AECD的底面為直角梯形,高為PA,代入公式計(jì)算即可.
解答 解:(1)取AD中點(diǎn)F,連結(jié)PF,CF,
∵AB$\stackrel{∥}{=}CD$,DC⊥BC,
∴四邊形ABCD是矩形,
∵E,F(xiàn)是BC,AD的中點(diǎn),
∴AF$\stackrel{∥}{=}$CE,即四邊形AECF是平行四邊形,
∴AE∥CF,
∴∠PCF為異面直線PC與AE所成角.
∵PA⊥AB,PA⊥AD,AB∩AD=A,
∴PA⊥平面ABCD.
∴PF=$\sqrt{P{A}^{2}+A{F}^{2}}$=$\sqrt{2}$,
∵AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{5}$,∴PC=$\sqrt{P{A}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{6}$.
又∵CF=$\sqrt{C{D}^{2}+D{F}^{2}}$=$\sqrt{2}$,
∴cos∠PCF=$\frac{P{C}^{2}+C{F}^{2}-P{F}^{2}}{2PC•CF}$=$\frac{6+2-2}{2\sqrt{12}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$.
∴∠PCF=$\frac{π}{6}$,即異面直線PC與AE所成角的大小為$\frac{π}{6}$.
(2)VP-AECD=$\frac{1}{3}{S}_{梯形AECD}•PA$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×(1+2)×1×1=\frac{1}{2}$.
點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間角的計(jì)算,棱錐的體積計(jì)算,作出異面直線所成的角是解題關(guān)鍵.
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A. | $\sqrt{3}$ | B. | 2 | C. | $\sqrt{5}$ | D. | $\frac{\sqrt{5}}{2}$ |
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