Question

9．如圖，在直角梯形PBCD中，PB∥DC，DC⊥BC，PB=BC=2CD=2，點A是PB的中點，E是BC的中點，現(xiàn)沿AD將平面PAD折起，使得PA⊥AB；
（1）求異面直線PC與AE所成角的大小；
（2）求四棱錐P-AECD的體積．

Answer 1

分析 （1）取AD中點F，連結(jié)PF，CF，則AE∥CF，即∠PCF為異面直線PC與AE所成角．由PA⊥AB，PA⊥AD得出PA⊥平面ABCD，利用勾股定理求出△PCF的三條邊，利用余弦定理求出∠PCF；
（2）四棱錐P-AECD的底面為直角梯形，高為PA，代入公式計算即可．

解答 解：（1）取AD中點F，連結(jié)PF，CF，
∵AB$\stackrel{∥}{=}CD$，DC⊥BC，
∴四邊形ABCD是矩形，
∵E，F(xiàn)是BC，AD的中點，
∴AF$\stackrel{∥}{=}$CE，即四邊形AECF是平行四邊形，
∴AE∥CF，
∴∠PCF為異面直線PC與AE所成角．
∵PA⊥AB，PA⊥AD，AB∩AD=A，
∴PA⊥平面ABCD．
∴PF=$\sqrt{P{A}^{2}+A{F}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∵AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{5}$，∴PC=$\sqrt{P{A}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{6}$．
又∵CF=$\sqrt{C{D}^{2}+D{F}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴cos∠PCF=$\frac{P{C}^{2}+C{F}^{2}-P{F}^{2}}{2PC•CF}$=$\frac{6+2-2}{2\sqrt{12}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴∠PCF=$\frac{π}{6}$，即異面直線PC與AE所成角的大小為$\frac{π}{6}$．
（2）V_P-AECD=$\frac{1}{3}{S}_{梯形AECD}•PA$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×（1+2）×1×1=\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了空間角的計算，棱錐的體積計算，作出異面直線所成的角是解題關(guān)鍵．