Question

4．已知f（x）是定義在[-2，2]上的奇函數(shù)，當(dāng)x∈[-2，0）時，f（x）=-ax²-ln（-x）+1，a∈R．
（1）當(dāng)$a=\frac{1}{2}$時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）若對于（0，2]上任意的x，都有|f（x）+x|≥1成立，求實數(shù)a的最大值．

Answer 1

分析 （1）運用奇函數(shù)的定義，可得x∈（0，2]時，f（x）=ax²+lnx-1，求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點，由點斜式方程可得切線的方程；
（2）由題意可得ax²+lnx+x-2≥0或ax²+lnx+x≤0對于任意的x∈（0，2]成立，可得$a≥\frac{-lnx-x+2}{x^2}$或$a≤\frac{-lnx-x}{x^2}$對于任意的x∈（0，2]成立，分別求出表達式右邊的最值，由恒成立思想即可得到所求a的范圍．

解答 解：（1）f（x）為[-2，2]上的奇函數(shù)，則f（-x）=-f（x）．
當(dāng)x∈（0，2]時，-x∈[-2，0），f（x）=-f（-x）=ax²+lnx-1．
當(dāng)$a=\frac{1}{2}$時，x∈（0，2]時，$f'（x）=x+\frac{1}{x}$，f′（1）=2，$f（1）=-\frac{1}{2}$．
所以，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為4x-2y-5=0；
（2）由題可知，|ax²+lnx+x-1|≥1對于任意的x∈（0，2]成立，
即ax²+lnx+x-2≥0或ax²+lnx+x≤0對于任意的x∈（0，2]成立，
可得$a≥\frac{-lnx-x+2}{x^2}$或$a≤\frac{-lnx-x}{x^2}$對于任意的x∈（0，2]成立，
①顯然函數(shù)$y=\frac{-lnx-x+2}{x^2}$沒有最大值，故不存在實數(shù)a滿足題意；
②設(shè)$g（x）=\frac{-lnx-x}{x^2}$，x∈（0，2].$g'（x）=\frac{2lnx+x-1}{x^3}$，x∈（0，2]，
令g′（x）=0，得x=1．
當(dāng)x∈（0，1），g'（x）＜0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（1，2]，g'（x）＞0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增．
可得a≤g（x）_min=g（1）=-1．
綜上，實數(shù)a的最大值為-1．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查不等式恒成立問題的解法，注意運用構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性求得最值，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．