Question

20．已知函數(shù)$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+\frac{1-a}{2}{x^2}-ax-a，x∈R$，其中a＞0．
（1）當a=2時，求曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（-2，0）內恰有兩個零點，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出a=2時，f（x）的導數(shù)，求得切線的斜率和切點，由點斜式方程可得切線的方程；
（2）求出f（x）的導數(shù)，求得在（-2，0）的單調區(qū)間，由題意可得f（-2）＞0，f（-1）＜0，f（0）＜0，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：（1）當a=2時，$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}{x^2}-2x-2$，
則f′（x）=x²-x-2，
所以${f^'}（1）=-2，f（1）=-\frac{25}{6}$，
曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為：$y+\frac{25}{6}=-2（x-1）$，
即12x+6y+13=0；
（2）f（x）的導數(shù)為f′（x）=x²+（1-a）x-a=（x+1）（x-a）（a＞0）
令f′（x）=0，則x₁=-1，x₂=a（舍），
當x∈（-2，-1）時，f′（x）＞0，當x∈（-1，0）時，f′（x）＜0，
從而f（x）在（-2，-1）單調遞增，f（x）在（-1，0）單調遞減，
所以函數(shù)f（x）在（-2，0）內恰有兩個零點，當且僅當$\left\{\begin{array}{l}f（-2）＜0\\ f（-1）＞0\\ f（0）＜0\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}-\frac{2}{3}-a＜0\\ 1-3a＞0\\-a＜0\end{array}\right.$，
解得$0＜a＜\frac{1}{3}$，所以a的取值范圍$（0，\frac{1}{3}）$．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的方程和單調區(qū)間，考查函數(shù)零點的求法，注意運用二次函數(shù)的圖象和性質，考查不等式的解法，屬于中檔題．