Question

19．已知四棱錐P-ABCD中，PA垂直于直角梯形ABCD所在的平面，BA⊥AD，BC∥AD，M是PC的中點(diǎn)，且AB=AD=AP=2，BC=4．
（1）求證：DM∥平面PAB；
（2）求三棱錐M-PBD的體積．

Answer 1

分析 （1）取PB的中點(diǎn)N，連結(jié)AN，MN，則MN$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}BC$，又AD$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$BC，故四邊形MNAD是平行四邊形，于是MD∥AN，所以MD∥平面PAB；
（2）分別求出棱錐P-ABCD，棱錐P-ABD，棱錐M-BCD的體積，則V_M-PBD=V_P-ABCD-V_P-ABD-V_M-BCD．

解答 解：（1）取PB的中點(diǎn)N，連結(jié)AN，MN，
∵M(jìn)，N是PC，PB的中點(diǎn)，
∴MN$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}BC$，又AD$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$BC，
∴四邊形MNAD是平行四邊形，
∴MD∥AN，又MD?平面PAB，AN?平面PAB，
∴MD∥平面PAB．
（2）∵PA⊥平面ABCD，
∴V_P-ABD=$\frac{1}{3}{S}_{△ABD}•PA$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×2$=$\frac{4}{3}$，
V_P-ABCD=$\frac{1}{3}{S}_{梯形ABCD}•PA$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×（2+4）×2×2$=4．
∵M(jìn)是PC的中點(diǎn)，∴M到平面ABCD的距離h=$\frac{1}{2}PA$=1．
∴V_M-BCD=$\frac{1}{3}{S}_{△BCD}•h$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×2×1$=$\frac{4}{3}$．
∴V_M-PBD=V_P-ABCD-V_P-ABD-V_M-BCD=4-$\frac{4}{3}-\frac{4}{3}$=$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面平行的判定，棱錐的體積計(jì)算，屬于中檔題．