Question

9．如圖，已知F₁、F₂為雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞0，b＞0）的左、右焦點，點P在第一象限，且滿足$\overrightarrow{|{F}_{2}P|}$=$\overrightarrow{a}$，（$\overrightarrow{{F}_{1}P}+\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$）•$\overrightarrow{{F}_{2}P}$=0，線段PF₂與雙曲線C交于點Q，若$\overrightarrow{{F}_{2}P}$=5$\overrightarrow{{F}_{2}Q}$，則雙曲線C的漸近線方程為（　�。�

• A． y=±$\frac{\sqrt{5}}{5}x$
• B． y=±$\frac{1}{2}x$
• C． y=±$\frac{\sqrt{3}}{2}x$
• D． y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}x$

Answer 1

分析 由題意，|PF₁|=|F₁F₂|2c，|QF₁|=$\frac{11}{5}$a，|QF₂|=$\frac{1}{5}$a，由余弦定理可得$\frac{4{c}^{2}+\frac{1}{25}{a}^{2}-\frac{121}{25}{a}^{2}}{2×2c×\frac{1}{5}a}$=$\frac{\frac{1}{2}a}{2c}$，確定a，b的關系，即可求出雙曲線C的漸近線方程．

解答 解：由題意，（$\overrightarrow{{F}_{1}P}+\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$）•$\overrightarrow{{F}_{2}P}$=0，∴|PF₁|=|F₁F₂|=2c，|QF₁|=$\frac{11}{5}$a，|QF₂|=$\frac{1}{5}$a，
∴由余弦定理可得$\frac{4{c}^{2}+\frac{1}{25}{a}^{2}-\frac{121}{25}{a}^{2}}{2×2c×\frac{1}{5}a}$=$\frac{\frac{1}{2}a}{2c}$，
∴c=$\frac{\sqrt{5}}{2}$a，
∴b=$\frac{1}{2}$a，
∴雙曲線C的漸近線方程為y=$±\frac{1}{2}$x．
故選：B．

點評 本題考查雙曲線C的漸近線方程，考查學生的計算能力，確定a，b的關系是關鍵．