Question

20．已知數(shù)列{a_n}是各項(xiàng)正數(shù)首項(xiàng)1等差數(shù)列，S_n為其前n項(xiàng)和，若數(shù)列{$\sqrt{{S}_{n}}$}也為等差數(shù)列，則$\frac{{S}_{n}+8}{{a}_{n}+1}$的最小值是$\frac{17}{6}$．

Answer 1

分析 設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d（d＞0），即有a_n=1+（n-1）d，S_n=n+$\frac{1}{2}$n（n-1）d，再由數(shù)列{$\sqrt{{S}_{n}}$}也為等差數(shù)列，可得d=2，可得a_n=2n-1，S_n=n²，由基本不等式及等號(hào)成立的條件，計(jì)算n=2，3的數(shù)值，即可得到所求最小值．

解答 解：設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d（d＞0），
即有a_n=1+（n-1）d，
S_n=n+$\frac{1}{2}$n（n-1）d，
$\sqrt{{S}_{n}}$=$\sqrt{\frac{1}{2}d{n}^{2}+（1-\frac{1}{2}d）n}$，
由于數(shù)列{$\sqrt{{S}_{n}}$}也為等差數(shù)列，
可得1-$\frac{1}{2}$d=0，即d=2，
即有a_n=2n-1，S_n=n²，
則$\frac{{S}_{n}+8}{{a}_{n}+1}$=$\frac{{n}^{2}+8}{2n}$=$\frac{1}{2}$（n+$\frac{8}{n}$）≥$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{n•\frac{8}{n}}$=2$\sqrt{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)n=2$\sqrt{2}$取得等號(hào)，
由于n為正整數(shù)，即有n=2或3取得最小值．
當(dāng)n=2時(shí)，取得3；n=3時(shí)，取得$\frac{17}{6}$．
故最小值為$\frac{17}{6}$．
故答案為：$\frac{17}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，考查基本不等式的運(yùn)用，注意n為正整數(shù)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．