Question

（理）已知 

lim

x→2

x2+cx+2

x-2

=a，且函數(shù) f（x）=ae^bx-cx有大于0的極點值，則實數(shù)b的取值范圍是（　�。�

• A、（-∞，-3）
• B、（-3，+∞）
• C、（-∞，-

  1

  3

  ）
• D、（-

  1

  3

  ，+∞）

Answer 1

考點：極限及其運算

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：

lim

x→2

x2+cx+2

x-2

=a，可設(shè)x²+cx+2=（x-2）（x-1），解得c=-3，利用 

lim

x→2

x2+cx+2

x-2

=

lim

x→2

(x-1)=a，可得a．可得函數(shù) f（x）=ae^bx-cx=e^bx+3x，由于函數(shù)f（x）有大于0的極點值，則f′（x）=be^bx+3=0有大于0的實數(shù)根．解出即可．

解答： 解：∵

lim

x→2

x2+cx+2

x-2

=a，
可設(shè)x²+cx+2=（x-2）（x-1），解得c=-3，
∴

lim

x→2

x2+cx+2

x-2

=

lim

x→2

(x-1)=1=a，
∴函數(shù) f（x）=ae^bx-cx=e^bx+3x，
∴f′（x）=be^bx+3．
∵函數(shù)f（x）有大于0的極點值，
∴令f′（x）=0，則be^bx+3=0由大于0的實數(shù)根．
∵e^bx＞0．
∴b=

-3

ebx

＜-3，
∴實數(shù)b的取值范圍是（-∞，-3）．
故選：A．

點評：本題考查了函數(shù)極限的運算性質(zhì)、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．