Question

5．已知數列{a_n}的各項均為正數，且a₁=2，a_n=a${\;}_{n+1}^{2}$+4a_n+1+2
（1）令b_n=log₂（a_n+2），證明：數列{b_n}是等比數列
（2）設c_n=nb_n，求數列{c_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）a_n=a${\;}_{n+1}^{2}$+4a_n+1+2，變形a_n+2=$（{a}_{n+1}+2）^{2}$，又數列{a_n}的各項均為正數，兩邊取對數可得log₂（a_n+2）=2log₂（a_n+1+2），得到$_{n+1}=\frac{1}{2}_{n}$，即可證明；
（2）由（1）可得：$_{n}=2×（\frac{1}{2}）^{n-1}$=$\frac{1}{{2}^{n-2}}$，可得c_n=nb_n=$\frac{n}{{2}^{n-2}}$，利用“錯位相減法”、等比數列的前n項和公式即可得出．

解答 （1）證明：∵a_n=a${\;}_{n+1}^{2}$+4a_n+1+2，
∴a_n+2=$（{a}_{n+1}+2）^{2}$，
又數列{a_n}的各項均為正數，
∴l(xiāng)og₂（a_n+2）=2log₂（a_n+1+2），
∵b_n=log₂（a_n+2），b_n+1=log₂（a_n+1+2），
∴$_{n+1}=\frac{1}{2}_{n}$，
∴數列{b_n}是等比數列，首項為log₂（2+2）=2，公比為$\frac{1}{2}$．
（2）解：由（1）可得：$_{n}=2×（\frac{1}{2}）^{n-1}$=$\frac{1}{{2}^{n-2}}$，
∴c_n=nb_n=$\frac{n}{{2}^{n-2}}$，
∴數列{c_n}的前n項和S_n=$2+2+\frac{3}{2}+\frac{4}{{2}^{2}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n-2}}$，
$\frac{1}{2}{S}_{n}$=1+1+$\frac{3}{{2}^{2}}$+$\frac{4}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n-2}}+\frac{n}{{2}^{n-1}}$，
∴$\frac{1}{2}{S}_{n}$=2+1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-2}}$-$\frac{n}{{2}^{n-1}}$=$\frac{2（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n-1}}$=$4-\frac{2+n}{{2}^{n-1}}$，
∴S_n=$8-\frac{2+n}{{2}^{n-2}}$．

點評 本題考查了“錯位相減法”、等比數列的通項公式及其前n項和公式、對數的運算性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．