Question

17．已知x∈（0，1），a=$\frac{sinx}{x}$，b=$\frac{sin{x}^{3}}{{x}^{3}}$，c=$\frac{si{n}^{3}x}{{x}^{3}}$，則a，b，c的大小關(guān)系為（　�。�

• A． a＞b＞c
• B． a＞c＞b
• C． b＞c＞a
• D． b＞a＞c

Answer 1

分析 分別令g（x）=x-tanx，x∈（0，1），令f（x）=$\frac{sinx}{x}$，x∈（0，1），利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，即可得出．

解答 解：令g（x）=x-tanx，x∈（0，1），
g′（x）=1-$\frac{1}{co{s}^{2}x}$＜0，∴函數(shù)g（x）在x∈（0，1）上單調(diào)遞減，
∴g（x）＜g（0）=0，
∴x＜tanx．
令f（x）=$\frac{sinx}{x}$，x∈（0，1），
∴f′（x）=$\frac{xcosx-sinx}{{x}^{2}}$=$\frac{cosx（x-tanx）}{{x}^{2}}$＜0，
∴函數(shù)f（x）在x∈（0，1）單調(diào)遞減，
∵x＞x³，
∴b＞a，
又0＜a＜1，c=a³，
∴c＜a．
綜上可得：b＞a＞c．
故選：D．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．