5.在平面直角坐標系xOy中,圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=4cosθ\\ y=4sinθ\end{array}\right.$(θ為參數(shù)),直線l經(jīng)過點P(2,2),傾斜角$α=\frac{π}{3}$.
(Ⅰ)寫出圓的標準方程和直線l的參數(shù)方程;
(Ⅱ)設(shè)l與圓C相交于A,B兩點,求弦|AB|的值.

分析 (1)由圓C的參數(shù)方程可得其標準方程,然后求解直線l的參數(shù)方程.
(2)設(shè)A、B兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為t1、t2,利用直線的參數(shù)方程的幾何意義求解即可.

解答 解:(1)由圓C的參數(shù)方程可得其標準方程為x2+y2=16.
因為直線l過點P(2,2),傾斜角$α=\frac{π}{3}$,所以直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2+tcos\frac{π}{3}\\ y=2+tsin\frac{π}{3}\end{array}\right.$
即$\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{1}{2}t\\ y=2+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$(t為參數(shù)).
(2)把直線l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{1}{2}t\\ y=2+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$代入圓C:x2+y2=16中,
得${({2+\frac{1}{2}t})^2}+{({2+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t})^2}=16,{t^2}+2({\sqrt{3}+1})t-8=0$,
設(shè)A、B兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為t1、t2,
所以${t_1}+{t_2}=2({\sqrt{3}+1}),{t_1}{t_2}=-8$,
所以|AB|=|t1-t2|=$\sqrt{({t}_{1}+{t}_{2})^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=2$\sqrt{12+2\sqrt{3}}$.

點評 本題考查極坐標與直線的參數(shù)方程的應(yīng)用,考查計算能力.

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