Question

5．在平面直角坐標系xOy中，圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=4cosθ\\ y=4sinθ\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），直線l經(jīng)過點P（2，2），傾斜角$α=\frac{π}{3}$．
（Ⅰ）寫出圓的標準方程和直線l的參數(shù)方程；
（Ⅱ）設(shè)l與圓C相交于A，B兩點，求弦|AB|的值．

Answer 1

分析 （1）由圓C的參數(shù)方程可得其標準方程，然后求解直線l的參數(shù)方程．
（2）設(shè)A、B兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為t₁、t₂，利用直線的參數(shù)方程的幾何意義求解即可．

解答 解：（1）由圓C的參數(shù)方程可得其標準方程為x²+y²=16．
因為直線l過點P（2，2），傾斜角$α=\frac{π}{3}$，所以直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2+tcos\frac{π}{3}\\ y=2+tsin\frac{π}{3}\end{array}\right.$
即$\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{1}{2}t\\ y=2+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
（2）把直線l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{1}{2}t\\ y=2+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$代入圓C：x²+y²=16中，
得${（{2+\frac{1}{2}t}）^2}+{（{2+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}）^2}=16，{t^2}+2（{\sqrt{3}+1}）t-8=0$，
設(shè)A、B兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為t₁、t₂，
所以${t_1}+{t_2}=2（{\sqrt{3}+1}），{t_1}{t_2}=-8$，
所以|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=2$\sqrt{12+2\sqrt{3}}$．

點評 本題考查極坐標與直線的參數(shù)方程的應(yīng)用，考查計算能力．