Question

18．若函數(shù)f（x）=|2x-1|，則函數(shù)g（x）=f（f（x））+lnx在[0，1]上的不同零點個數(shù)為3．

Answer 1

分析 先通過分類討論求出f[f（x）]的表達(dá)式（分四段），再運用數(shù)形結(jié)合的方法得出兩圖象有三個交點．

解答 解：∵x∈[0，1]，根據(jù)題意，令|2x-1|≥$\frac{1}{2}$，
解得x∈[0，$\frac{1}{4}$]∪[$\frac{3}{4}$，1]，所以，
①當(dāng)x∈[0，$\frac{1}{4}$]時，f（x）=1-2x，
f[f（x）]=2（1-2x）-1=-4x+1；
②當(dāng)x∈[$\frac{3}{4}$，1]時，f（x）=2x-1，
f[f（x）]=2（2x-1）-1=4x-3；
同理，令|2x-1|＜$\frac{1}{2}$，解得x∈（$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{4}$），得到，
③當(dāng)x∈（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]時，f（x）=1-2x，f[f（x）]=1-2（1-2x）=4x-1；
④當(dāng)x∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$）時，f（x）=2x-1，f[f（x）]=1-2（2x-1）=-4x+3．
所以，x∈[0，1]時，記y=h（x）=f[f（x）]=$\left\{\begin{array}{l}{-4x+1，x∈[0，\frac{1}{4}]}\\{4x-1，x∈（\frac{1}{4}，\frac{1}{2}]}\\{-4x+3，x∈（\frac{1}{2}，\frac{3}{4}]}\\{4x-3，x∈（\frac{3}{4}，1]}\end{array}\right.$，
畫出函數(shù)y=h（x）（紫線）和y=-lnx（藍(lán)線）的圖象，如右圖：
顯然，兩函數(shù)圖象有三個交點（可以考察x=$\frac{1}{2}$處的函數(shù)值來判別交點個數(shù)），
所以，原函數(shù)g（x）=f（f（x））+lnx在[0，1]上有3個零點，
故答案為：3．

點評 本題主要考查了根的存在和個數(shù)的判斷，涉及分段解析式的確定，體現(xiàn)了分類討論，數(shù)形結(jié)合的解題思想，屬于難題．