Question

8．若一個底面是正三角形的三棱柱的正視圖如圖所示，其頂點都在一個球面上，則該球的表面積為（　�。� 

• A． $\frac{16}{3}$ π
• B． $\frac{19}{3}$ π
• C． $\frac{19}{12}$ π
• D． $\frac{4}{3}$ π

Answer 1

分析 由已知得該三棱柱的底面棱長為2，高為1的正三棱柱，先求出底面外接圓半徑和球心到底面的球心距，從而能求出球半徑，由此能求出該球的表面積．

解答 解：由已知底面是正三角形的三棱柱的正視圖
我們可得該三棱柱的底面棱長為2，高為1
則底面外接圓半徑r=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，球心到底面的球心距d=$\frac{1}{2}$，
則球半徑R²=$\frac{4}{3}+\frac{1}{4}$=$\frac{19}{12}$，
則該球的表面積S=4πR²=$\frac{19}{3}π$．
故選：B．

點評 本題考查三棱柱的外接球的表面積的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意正三棱柱的結(jié)構(gòu)特征和球的性質(zhì)的合理運(yùn)用．