Question

5．已知f（x）=|x-3|．
（I）證明：f（m）+f（-$\frac{1}{m}$）≥2；
（Ⅱ）若不等式f（x）+f（x+3）≥kx-1的解集為R，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）f（m）+f（-$\frac{1}{m}$）=|m-3|+|3+$\frac{1}{m}$|，從而討論去絕對(duì)值號(hào)，從而確定函數(shù)的單調(diào)性，從而證明；
（Ⅱ）由題意化簡可得|x-3|+|x|≥kx-1的解集為R，作函數(shù)y=|x-3|+|x|與直線y=kx-1的圖象，從而結(jié)合圖象解得．

解答 解：（I）證明：f（m）+f（-$\frac{1}{m}$）
=|m-3|+|3+$\frac{1}{m}$|，
①當(dāng)m≥3時(shí)，
f（m）+f（-$\frac{1}{m}$）=m-3+3+$\frac{1}{m}$
=m+$\frac{1}{m}$≥$\frac{10}{3}$；
②當(dāng)0＜m＜3時(shí)，
f（m）+f（-$\frac{1}{m}$）=3-m+3+$\frac{1}{m}$
=6-m+$\frac{1}{m}$＞$\frac{10}{3}$；
③當(dāng)-$\frac{1}{3}$＜m＜0時(shí)，
f（m）+f（-$\frac{1}{m}$）=3-m-3-$\frac{1}{m}$
=-m-$\frac{1}{m}$＞$\frac{10}{3}$；
④當(dāng)m≤-$\frac{1}{3}$時(shí)，
f（m）+f（-$\frac{1}{m}$）=3-m+3+$\frac{1}{m}$
=6-m+$\frac{1}{m}$≥$\frac{10}{3}$；
綜上所述，f（m）+f（-$\frac{1}{m}$）≥2．
（Ⅱ）∵f（x）+f（x+3）≥kx-1的解集為R，
∴|x-3|+|x|≥kx-1的解集為R，
作函數(shù)y=|x-3|+|x|與直線y=kx-1的圖象如圖，
結(jié)合圖象可知，
k_m=$\frac{3+1}{3}$=$\frac{4}{3}$，k_l=-2，
故-2≤k≤$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分類討論與數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用及函數(shù)的單調(diào)性的判斷與應(yīng)用．