Question

19．已知F（1，0）為一定點(diǎn)，P（0，b）是y軸上的一動點(diǎn)，x軸上的點(diǎn)M滿足$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PF}$=0，點(diǎn)N滿足2$\overrightarrow{PN}$+$\overrightarrow{NM}$=$\vec 0$．
（Ⅰ）求點(diǎn)N的軌跡曲線C的方程；
（Ⅱ）過直線l：2x-y+1=0的點(diǎn)Q作曲線C的切線QA，QB，切點(diǎn)分別為A，B，求證：當(dāng)點(diǎn)Q在直線l上運(yùn)動時(shí)，直線AB恒過定點(diǎn)S．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)M（a，0），求得向量的坐標(biāo)，運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和向量共線的坐標(biāo)表示，化簡整理即可得到所求軌跡方程；
（Ⅱ）求得曲線上非原點(diǎn)外切線的斜率，以及切線方程，求得切點(diǎn)弦AB的方程，結(jié)合Q在直線l上，可得定點(diǎn)S的坐標(biāo)；再由原點(diǎn)作切線QA，QB，求得AB的方程，即可判斷定點(diǎn)S的坐標(biāo)．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)M（a，0），則$\overrightarrow{PM}$=（a，-b），$\overrightarrow{PF}$=（1，-b），
由$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PF}$=0可得a+b²=0，
設(shè)N（x，y），由點(diǎn)N滿足2$\overrightarrow{PN}$+$\overrightarrow{NM}$=$\vec 0$．即$\overrightarrow{PN}$+$\overrightarrow{PM}$=$\overrightarrow{0}$，
則a+x=0，y-2b=0，
即有曲線C的方程為y²=4x；
（Ⅱ）證明：（1）y＞0時(shí)，y=2$\sqrt{x}$，y′=$\frac{1}{\sqrt{x}}$=$\frac{2}{y}$，
y＜0時(shí)，y=-2$\sqrt{x}$，y′=-$\frac{1}{\sqrt{x}}$=$\frac{2}{y}$，
則曲線C上除原點(diǎn)外任一點(diǎn)（x，y）處的切線的斜率均為$\frac{2}{y}$，
設(shè)Q（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），y₁y₂≠0，
可得切線QA的方程為2x₁-y₁y+2x=0，
切線QB的方程為2x₂-y₂y+2x=0，
代入Q，可得2x₁-y₁y₀+2x₀=0，且2x₂-y₂y₀+2x₀=0，
即有AB的方程為2x-yy₀+2x₀=0，
又2x₀-y₀+1=0，
可得2x-1+y₀（1-y）=0，
令2x-1=0，且1-y=0，解得x=$\frac{1}{2}$，y=1．
即有AB恒過定點(diǎn)S（$\frac{1}{2}$，1）；
（2）若切點(diǎn)A為原點(diǎn)，則Q（0，1），
設(shè)QB：y=kx+1與拋物線y²=4x相切，則k=1，
切點(diǎn)B（1，2），AB的方程為y=2x，也過點(diǎn)S（$\frac{1}{2}$，1），
綜上可得，當(dāng)點(diǎn)Q在直線l上運(yùn)動時(shí)，直線AB恒過定點(diǎn)S（$\frac{1}{2}$，1）．

點(diǎn)評 本題考查軌跡方程的求法，同時(shí)考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和向量的共線的坐標(biāo)運(yùn)算，考查直線和拋物線相切的切線方程和切點(diǎn)弦方程的求法，以及直線恒過定點(diǎn)的問題，屬于中檔題．