Question

已知方程x²+y²+2mx-2ny-2=0表示的曲線恒過第三象限的一個定點A，若點A又在直線l：mx+ny+1=0上，則當(dāng)正數(shù)m、n的乘積取得最大值時直線l的方程是

 

．

Answer 1

考點：基本不等式在最值問題中的應(yīng)用,二元二次方程表示圓的條件

專題：不等式的解法及應(yīng)用,直線與圓

分析：先根據(jù)方程x²+y²-2mx+2my-2=0，確定第三象限的定點A的坐標(biāo)，代入直線l：mx+ny+1=0上，利用基本不等式，可求正數(shù)m，n的乘積的最大值，故可求直線方程．

解答： 解：∵方程x²+y²-2mx+2my-2=0
∴x²+y²-2-2m（x-y）=0
解方程組

x2+y2-2=0 x-y=0

得

x=1 y=1

或

x=-1 y=-1

∵A在第三象限
∴A（-1，-1）
∵點A在直線l：mx+ny+1=0
∴m+n=1
∵m＞0，n＞0
∴mn≤(

m+n

2

)2=

1

4

當(dāng)且僅當(dāng)m=n=

1

2

時，正數(shù)m，n的乘積取得最大值
∴直線l：mx+ny+1=0為直線l：x+y+2=0
故答案為：x+y+2=0．

點評：本題以圓的方程為載體，考查定點問題，考查基本不等式的運用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圓的方程確定定點的坐標(biāo)．