Question

11．已知M=$[\begin{array}{l}{1}&{2}\\{2}&{1}\end{array}]$，向量β=$[\begin{array}{l}{1}\\{7}\end{array}]$，求M⁵⁰β．

Answer 1

分析 先根據(jù)特征值的定義列出特征多項(xiàng)式f（λ），再令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程組即可解得相應(yīng)的特征向量．利用特征向量的性質(zhì)計(jì)算，先利用特征向量表示向量β，后將求M⁵⁰β的值的問題轉(zhuǎn)化成求有關(guān)特征向量的計(jì)算問題．

解答 解：矩陣M的特征多項(xiàng)式為f（λ）=$|\begin{array}{l}{λ-1}&{-2}\\{-2}&{λ-1}\end{array}|$=（λ-1）²-4=0，
∴λ₁=-1，λ₂=3，
設(shè)對(duì)應(yīng)的特征向量為α₁=$[\begin{array}{l}{{x}_{1}}\\{{y}_{1}}\end{array}]$，α₂=$[\begin{array}{l}{{x}_{2}}\\{{y}_{2}}\end{array}]$，
由Mα₁=λ₁α₁，Mα₂=λ₂α₂，
可得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+2{y}_{1}=-{x}_{1}}\\{2{x}_{1}+{y}_{1}=-{y}_{1}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}+2{y}_{2}=3{x}_{2}}\\{2{x}_{2}+{y}_{2}=3{y}_{2}}\end{array}\right.$，
解得x₁+y₁=0，x₂-y₂=0，
∴矩陣M的一個(gè)特征向量為α₁=$[\begin{array}{l}{1}\\{-1}\end{array}]$，α₂=$[\begin{array}{l}{1}\\{1}\end{array}]$，
由β=mα₁+nα₂，得$\left\{\begin{array}{l}{m+n=1}\\{n-m=7}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{m=-3}\\{n=4}\end{array}\right.$，
∴M⁵⁰β=M⁵⁰（-3α₁+4α₂）
=$-3（{M}^{50}{α}_{1}）+4（{M}^{50}{α}_{2}）$
=$-3（{{λ}_{1}}^{50}{α}_{1}）+4（{{λ}_{2}}^{50}{α}_{2}）$
=$-3×（-1）^{50}[\begin{array}{l}{1}\\{-1}\end{array}]$+$4×{3}^{50}[\begin{array}{l}{1}\\{1}\end{array}]$
=$[\begin{array}{l}{-3+4×{3}^{50}}\\{3+4×{3}^{50}}\end{array}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了特征值與特征向量的計(jì)算以及利用特征向量求向量乘方的問題，注意解題方法的積累，屬于中檔題．