Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\frac{m{x}^{2}+2}{n-3x}$的定義域上的奇函數(shù)，且f（2）=-$\frac{5}{3}$，函數(shù)g（x）是R上的增函數(shù)，g（1）=1且對任意x，y∈R，總有g(shù)（x+y）=g（x）+g（y）
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式
（Ⅱ）判斷函數(shù)f（x）在（1，+∞）上的單調(diào)性，并加以證明
（Ⅲ）若g（2a）＞g（a-1）+2，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可得f（-x）=-f（x），可得n，利用f（2）=-$\frac{5}{3}$，求出m，即可求函數(shù)f（x）的解析式
（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)判斷證明判斷函數(shù)f（x）在（1，+∞）上的單調(diào)性；
（Ⅲ）確定g（x）為奇函數(shù)，g（2）=g（1）+g（1）=2，g（2a）＞g（a-1）+2，化為g（2a）＞g（a+1），利用函數(shù)g（x）是R上的增函數(shù)，可得不等式，解不等式即可得到a的范圍．

解答 解：（Ⅰ）由定義域為R的函數(shù)f（x）=$\frac{m{x}^{2}+2}{n-3x}$是奇函數(shù)，
可得$\frac{m{x}^{2}+2}{n+3x}$=-$\frac{m{x}^{2}+2}{n-3x}$，即n+3x=-n+3x，解得n=0，
∵f（2）=-$\frac{5}{3}$，
∴$\frac{4m+2}{-6}$=-$\frac{5}{3}$，
∴m=2，
∴f（x）=$\frac{2{x}^{2}+2}{-3x}$；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減．
∵f（x）=$\frac{2{x}^{2}+2}{-3x}$=-$\frac{2}{3}$（x+$\frac{1}{x}$），
∴f′（x）=-$\frac{2}{3}•\frac{{x}^{2}-1}{x}$，
∵x＞1，
∴f′（x）＜0，
∴函數(shù)f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減；
（Ⅲ）令x=y=0，得g（0）=0，
令y=-x，可得g（0）=g（x）+g（-x），
∴g（-x）=-g（x），
∴g（x）為奇函數(shù)，
∵g（1）=1，
∴g（2）=g（1）+g（1）=2，
∵g（2a）＞g（a-1）+2，
∴g（2a）＞g（a+1），
∵函數(shù)g（x）是R上的增函數(shù)，
∴2a＞a+1，
∴a＞1．

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷及應(yīng)用：解不等式，考查二次不等式恒成立問題的解法，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．