Question

3．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足a_n=$\frac{2{{S}_{n}}^{2}}{2{S}_{n}-1}$（n≥2），a₁=1，求{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 由數(shù)列遞推式可得數(shù)列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以$\frac{1}{{S}_{1}}$=1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，求出S_n，再由a_n=S_n-S_n-1（n≥2）得答案．

解答 解：當(dāng)n≥2時(shí)，由a_n=$\frac{2{{S}_{n}}^{2}}{2{S}_{n}-1}$，得
S_n-S_n-1=$\frac{2{{S}_{n}}^{2}}{2{S}_{n}-1}$，即$（{S}_{n}-{S}_{n-1}）（2{S}_{n}-1）=2{{S}_{n}}^{2}$，
整理得：$\frac{1}{{S}_{n}}-\frac{1}{{S}_{n-1}}=2$（n≥2），
∴數(shù)列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以$\frac{1}{{S}_{1}}$=1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，
則$\frac{1}{{S}_{n}}=1+2（n-1）=2n-1$．
∴${S}_{n}=\frac{1}{2n-1}$．
則${a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}=\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n-3}=-\frac{2}{（2n-1）（2n-3）}$（n≥2）．
驗(yàn)證n=1時(shí)上式不成立．
∴${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{-\frac{2}{（2n-1）（2n-3）}，n≥2}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系的確定，是中檔題．