Question

2．已知函數(shù)y=f（x）是定義在R上的增函數(shù)，且滿足f（x-2）+f（-x+2）=0，若任意的x，y∈R，不等式f（x²-4x+4）+f（y²-6y）≤0恒成立，則當x≥2時，x²+y²的取值范圍（　�。�

• A． （13，49）
• B． [2，2+$\sqrt{13}$]
• C． [2，13]
• D． [4，22+6$\sqrt{13}$]

Answer 1

分析 由題意可得f（-x）=-f（x），即f（x）為奇函數(shù)，則原不等式即為f（x²-4x+4）≤-f（y²-6y）=f（6y-y²），
由函數(shù)y=f（x）是定義在R上的增函數(shù)，可得x²-4x+4≤6y-y²，即有（x-2）²+（y-3）²≤9，即為圓及圓內(nèi)的點，運用數(shù)形結(jié)合的思想方法，即可得到所求最值．

解答 解：由f（x）滿足f（x-2）+f（-x+2）=0，
將x-2換為x，可得f（x）+f（-x）=0，即f（-x）=-f（x），
由不等式f（x²-4x+4）+f（y²-6y）≤0恒成立，
可得f（x²-4x+4）≤-f（y²-6y）=f（6y-y²），
由函數(shù)y=f（x）是定義在R上的增函數(shù)，可得
x²-4x+4≤6y-y²，即有（x-2）²+（y-3）²≤9，
表示圓心（2，3），半徑為3的圓及圓內(nèi)的點，
當x≥2時，x²+y²的幾何意義為（x，y）與（0，0）的距離的平方．
如圖，可得當x=2，y=0時，取得最小值，且為4；
連接OC，延長交圓于D，可得|OD|²=（3+$\sqrt{13}$）²=22+6$\sqrt{13}$．
則x²+y²的取值范圍是[4，22+6$\sqrt{13}$]．
故選：D．

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的運用，考查圓的方程及運用，以及數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于中檔題．