Question

4．用max{x，y}表示x，y兩個數(shù)中的最大數(shù)，若△ABC的三個內(nèi)角滿足：A≤B≤C，則$max\left\{{\frac{sinA}{sinB}，\frac{sinB}{sinC}}\right\}$的取值范圍為（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，1]．

Answer 1

分析 運用正弦定理可得$max\left\{{\frac{sinA}{sinB}，\frac{sinB}{sinC}}\right\}$=max{$\frac{a}$，$\frac{c}$}，由A≤B≤C，可得a≤b≤c，即有$\frac{a}$≤1，$\frac{c}$≤1，再由a+b＞c，兩邊同除以b，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：由正弦定理可得，$\frac{a}$=$\frac{sinA}{sinB}$，$\frac{c}$=$\frac{sinB}{sinC}$，
即有$max\left\{{\frac{sinA}{sinB}，\frac{sinB}{sinC}}\right\}$=max{$\frac{a}$，$\frac{c}$}，
由A≤B≤C，可得a≤b≤c，
即有$\frac{a}$≤1，$\frac{c}$≤1，
當(dāng)$\frac{a}$≥$\frac{c}$，即有max{$\frac{a}$，$\frac{c}$}=$\frac{a}$，
由于a+b＞c，可得$\frac{a+b}$＞$\frac{c}$≥$\frac{a}$，
即有（$\frac{a}$）²+$\frac{a}$-1＞0，
解得$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$＜$\frac{a}$≤1；
當(dāng)$\frac{a}$＜$\frac{c}$，即有max{$\frac{a}$，$\frac{c}$}=$\frac{c}$，
由于a+b＞c，可得$\frac{a+b}$＞$\frac{c}$，
即有$\frac{c}$+1＞$\frac{a+b}$＞$\frac{c}$，
即為（$\frac{c}$）²+$\frac{c}$-1＞0，
解得$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$＜$\frac{c}$≤1．
綜上可得$max\left\{{\frac{sinA}{sinB}，\frac{sinB}{sinC}}\right\}$的取值范圍為（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，1]．

點評 本題考查新定義的理解和運用，考查正弦定理的運用，以及三角形的兩邊之和大于第三邊，考查運算能力，屬于中檔題．