Question

9．已知函數(shù)f（x）滿足f（-x）=f（x），且f（x+2）=f（x）+f（2），當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）=x，那么在區(qū)間[-1，3]內(nèi)，關(guān)于x的方程f（x）=kx+k+1（k∈R）且k≠-1恰有4個不同的根，則k的取值范圍是（$-\frac{1}{3}$，0）．

Answer 1

分析 根據(jù)條件求出函數(shù)f（x）的周期性和在一個周期內(nèi)的解析式，利用函數(shù)與方程的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象相交問題，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）=x，∴f（0）=0，
∵f（-x）=f（x），且f（x+2）=f（x）+f（2），
∴函數(shù)y=f（x）為偶函數(shù)，
令x=-2，則f（-2+2）=f（-2）+f（2）=f（0）=0，
即2f（2）=0，則f（2）=0，
即f（x+2）=f（x）+f（2）=f（x），
即函數(shù)f（x）是周期為2的周期數(shù)列，
若x∈[-1，0]，則-x∈[0，1]時，
此時f（-x）=-x=f（x），
∴f（x）=-x，x∈[-1，0]，
令y=kx+k+1，則化為y=k（x+1）+1，即直線y=k（x+1）+1恒過M（-1，1）．
作出f（x），x∈[-1，3]的圖象與直線y=k（x+1）+1，
如圖所示，由圖象可知當(dāng)直線介于直線MA與MB之間時，
關(guān)于x的方程f（x）=kx+k+1恰有4個不同的根，
又∵k_MA=0，k_MB=$-\frac{1}{3}$，
∴$-\frac{1}{3}$＜k＜0．
故答案為：（$-\frac{1}{3}$，0）．

點(diǎn)評 本題主要考查根的個數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)條件判斷函數(shù)的奇偶性和周期性，利用數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)換為兩個函數(shù)的圖象問題是解決本題的關(guān)鍵．