9.已知函數(shù)f(x)滿足f(-x)=f(x),且f(x+2)=f(x)+f(2),當(dāng)x∈[0,1]時,f(x)=x,那么在區(qū)間[-1,3]內(nèi),關(guān)于x的方程f(x)=kx+k+1(k∈R)且k≠-1恰有4個不同的根,則k的取值范圍是($-\frac{1}{3}$,0).

分析 根據(jù)條件求出函數(shù)f(x)的周期性和在一個周期內(nèi)的解析式,利用函數(shù)與方程的關(guān)系,轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象相交問題,利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可.

解答 解:∵當(dāng)x∈[0,1]時,f(x)=x,∴f(0)=0,
∵f(-x)=f(x),且f(x+2)=f(x)+f(2),
∴函數(shù)y=f(x)為偶函數(shù),
令x=-2,則f(-2+2)=f(-2)+f(2)=f(0)=0,
即2f(2)=0,則f(2)=0,
即f(x+2)=f(x)+f(2)=f(x),
即函數(shù)f(x)是周期為2的周期數(shù)列,
若x∈[-1,0],則-x∈[0,1]時,
此時f(-x)=-x=f(x),
∴f(x)=-x,x∈[-1,0],
令y=kx+k+1,則化為y=k(x+1)+1,即直線y=k(x+1)+1恒過M(-1,1).
作出f(x),x∈[-1,3]的圖象與直線y=k(x+1)+1,
如圖所示,由圖象可知當(dāng)直線介于直線MA與MB之間時,
關(guān)于x的方程f(x)=kx+k+1恰有4個不同的根,
又∵kMA=0,kMB=$-\frac{1}{3}$,
∴$-\frac{1}{3}$<k<0.
故答案為:($-\frac{1}{3}$,0).

點(diǎn)評 本題主要考查根的個數(shù)的應(yīng)用,根據(jù)條件判斷函數(shù)的奇偶性和周期性,利用數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)換為兩個函數(shù)的圖象問題是解決本題的關(guān)鍵.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

19.若直線ax+y+2=0與連接兩點(diǎn)P(2,-3),Q(3,2)的線段相交,則實(shí)數(shù)a的取值范圍$[{-\frac{4}{3},\frac{1}{2}}]$.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

20.已知i,j,k是空間直角坐標(biāo)系O-xyz的單位正交基底,并且$\overrightarrow{AB}$=-i+j-k,則B點(diǎn)的坐標(biāo)為( 。
A.(-1,1,-1)B.(-i,j,-k)C.(1,-1,-1)D.不確定

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

17.已知函數(shù)f(x)=|2x-a|.
(1)若不等式f(x)≥5的解集為{x|x≤-2或x≥3},求實(shí)數(shù)a的值;
(2)若f(x)≥1-|x+1|恒成立,求實(shí)數(shù)a的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

4.用max{x,y}表示x,y兩個數(shù)中的最大數(shù),若△ABC的三個內(nèi)角滿足:A≤B≤C,則$max\left\{{\frac{sinA}{sinB},\frac{sinB}{sinC}}\right\}$的取值范圍為($\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,1].

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

14.設(shè)變量x,y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x-y≤1}\\{x+y≥2}\\{y≤2}\end{array}\right.$,則目標(biāo)函數(shù)z=x2+y2的取值范圍是[2,13].

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

1.已知函數(shù)f(x)=lnx+x與函數(shù)$g(x)=\frac{x}+{x^2}$有交點(diǎn),則實(shí)數(shù)b的取值范圍是( 。
A.(-∞,1]B.(-∞,0]C.[0,+∞)D.[1,+∞)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

18.?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=2,an+1=Sn+n.
(1)寫出a2,a3,a4的值,并求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)正項(xiàng)等差數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,且T3=9,并滿足a1+b1,a2+b2,a3+$\frac{1}{2}$b3,成等比數(shù)列.
(i)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式
(ii)設(shè)Bn=$\frac{1}{_{1}^{2}}$+$\frac{1}{_{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{_{n}^{2}}$,試確定Bn與$\frac{3}{4}$的大小關(guān)系,并給出證明.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

19.如圖,平面PAC⊥平面ABC,AC⊥BC,PE∥CB,M是AE的中點(diǎn).
(1)若N是PA的中點(diǎn),求證:平面CMN⊥平面PAC;
(2)若MN∥平面ABC,求證:N是PA的中點(diǎn).

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案