Question

15．如圖所示，在直三棱拄ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=AB=AC=1，AB⊥AC，N是BC的中點，點P在直線A₁B₁上，且滿足$\overrightarrow{{A}_{1}P}$=λ$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$，當直線PN與平面ABC所的角最大時，λ的值是（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． 1

Answer 1

分析 建立空間直角坐標系，利用向量的夾角公式，求出直線PN與平面ABC所成的角，即可求得結論．

解答 解：如圖，以AB，AC，AA₁分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系A-xyz，
則P（λ，0，1），$\overrightarrow{PN}$=（$\frac{1}{2}-λ$，$\frac{1}{2}$，-1），
平面ABC的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（0，0，1）
∴sinθ=$\frac{|\overrightarrow{PN}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{PN}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{（λ-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{5}{4}}}$，
∴當λ=$\frac{1}{2}$時，（sinθ）_max=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，此時角θ最大為arcsin$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
故選：A．

點評 本題考查使線面角的最大值的實數(shù)值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．