12.設f(x)=|x|+|1+$\frac{1}{x}$|.
(1)解不等式f(x)≤1;
(2)已知正數(shù)a,b,c,當x>0時,f(x)≥$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$+$\frac{1}{c}$恒成立,求證:a+b+c≥3.

分析 (1)通過討論x的范圍,求出不等式的解集即可;(2)根據(jù)基本不等式的性質(zhì)證明即可.

解答 解:(1)顯然,x≠0,
∴當x≤-1時,得$-x+1+\frac{1}{x}≤1$,…(1分)
即-x2+1≥0,即x=-1;…(2分)
當-1<x<0時,得$-x-1-\frac{1}{x}≤1$,即(x+1)2≤0,x無解;…(3分)
當x>0時,得$x+1+\frac{1}{x}≤1$,即x2+1≤0,x無解;…(4分)
綜上,不等式f(x)≤1的解集是{x|x=-1}…(5分)
(2)∵x>0,∴f(x)=|x|+|1+$\frac{1}{x}$|=x+$\frac{1}{x}$+1≥2$\sqrt{x•\frac{1}{x}}$+1=3,…6
當且僅當x=1時等號成立…(7分)
∵當x>0時,f(x)≥$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$+$\frac{1}{c}$恒成立,∴$\frac{1}{a}+\frac{1}+\frac{1}{c}≤3$…(8分)
∴$3(a+b+c)≥(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}+\frac{1}{c})≥{(\sqrt{a•\frac{1}{a}}+\sqrt{b•\frac{1}}+\sqrt{c•\frac{1}{c}})^2}=9$,
∴a+b+c≥3…(10分)

點評 本題考察了解絕對值不等式問題,考察基本不等式的性質(zhì),是一道基礎題.

練習冊系列答案
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