Question

12．設f（x）=|x|+|1+$\frac{1}{x}$|．
（1）解不等式f（x）≤1；
（2）已知正數(shù)a，b，c，當x＞0時，f（x）≥$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$+$\frac{1}{c}$恒成立，求證：a+b+c≥3．

Answer 1

分析 （1）通過討論x的范圍，求出不等式的解集即可；（2）根據(jù)基本不等式的性質(zhì)證明即可．

解答 解：（1）顯然，x≠0，
∴當x≤-1時，得$-x+1+\frac{1}{x}≤1$，…（1分）
即-x²+1≥0，即x=-1；…（2分）
當-1＜x＜0時，得$-x-1-\frac{1}{x}≤1$，即（x+1）²≤0，x無解；…（3分）
當x＞0時，得$x+1+\frac{1}{x}≤1$，即x²+1≤0，x無解；…（4分）
綜上，不等式f（x）≤1的解集是{x|x=-1}…（5分）
（2）∵x＞0，∴f（x）=|x|+|1+$\frac{1}{x}$|=x+$\frac{1}{x}$+1≥2$\sqrt{x•\frac{1}{x}}$+1=3，…6
當且僅當x=1時等號成立…（7分）
∵當x＞0時，f（x）≥$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$+$\frac{1}{c}$恒成立，∴$\frac{1}{a}+\frac{1}+\frac{1}{c}≤3$…（8分）
∴$3（a+b+c）≥（a+b+c）（\frac{1}{a}+\frac{1}+\frac{1}{c}）≥{（\sqrt{a•\frac{1}{a}}+\sqrt{b•\frac{1}}+\sqrt{c•\frac{1}{c}}）^2}=9$，
∴a+b+c≥3…（10分）

點評 本題考察了解絕對值不等式問題，考察基本不等式的性質(zhì)，是一道基礎題．