Question

15．已知命題p：y=ln（x²-ax+a）的定義域為R，命題q：2^x+a（$\frac{1}{2}$）^x-1＞0對一切實數x都成立，如果p∧q為假命題，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 求出命題p，q的等價條件，利用p∧q為假命題，建立條件關系即可．

解答 解：∵p：y=ln（x²-ax+a）的定義域為R，
∴x²-ax+a＞0恒成立，則判別式△=a²-4a＜0，解得0＜a＜4，即p：0＜a＜4．
命題q：2^x+a（$\frac{1}{2}$）^x-1＞0對一切實數x都成立，
則a（$\frac{1}{2}$）^x＞1-2^x，對一切實數x都成立，
即a＞$\frac{1-{2}^{x}}{（\frac{1}{2}）^{x}}$=2^x（1-2^x）=-（2^x）²+2^x，
設f（x）=-（2^x）²+2^x，
則f（x）=-（2^x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$，
∴當2^x=$\frac{1}{2}$時，函數f（x）的最大值$\frac{1}{4}$，
則a＞$\frac{1}{4}$，即q：a＞$\frac{1}{4}$，
若p∧q為假命題，則p，q至少有一個為假命題，
若p，q都為真命題，則$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜4}\\{a＞\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，
解得$\frac{1}{4}$＜a＜4，
則若p∧q為假命題，則a≤$\frac{1}{4}$或a≥4．

點評 本題主要考查命題為真命題的等價條件，結合復合命題之間的關系是解決本題的關鍵．