Question

8．已知函數(shù)y=sinx+cosx．
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）求函數(shù)的最值及x的值．

Answer 1

分析 （1）首先，化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，然后，根據(jù)三角函數(shù)的圖象求解；
（2）直接根據(jù)三角函數(shù)的最值性質(zhì)求解即可．

解答 解：y=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），
∴函數(shù)y=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），
（1）令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z
∴-$\frac{3π}{4}$+2kπ≤x≤$\frac{π}{4}$+2kπ，
∴該函數(shù)遞增區(qū)間為：[-$\frac{3π}{4}$+2kπ，$\frac{π}{4}$+2kπ]，（k∈Z），
令$\frac{π}{2}$+2kπ≤x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，k∈Z
∴$\frac{π}{4}$+2kπ≤x≤$\frac{5π}{4}$+2kπ，
∴該函數(shù)遞減區(qū)間為：[$\frac{π}{4}$+2kπ，$\frac{5π}{4}$+2kπ]，（k∈Z），
（2）x+$\frac{π}{4}$=-$\frac{π}{2}$+2kπ，
∴x=-$\frac{3π}{4}$+2kπ，此時(shí)函數(shù)取得最小值為-$\sqrt{2}$；
x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z
∴x=$\frac{π}{4}$+2kπ，此時(shí)函數(shù)取得最大值為$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題重點(diǎn)考查了三角公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題．