Question

【題目】已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若，求的極大值；

（3）若，指出的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】（1） 的單調(diào)減區(qū)間為 ；（2） 的極大值為 （3） 時(shí)， 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0；當(dāng) 時(shí)， 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1.

【解析】試題分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，解不等式（或）即可求解；（2）求導(dǎo)后分析導(dǎo)數(shù)何時(shí)取正，何時(shí)取負(fù)，當(dāng)在處左正右負(fù)時(shí)， 即為所求；（3）分和兩種情況討論，當(dāng)時(shí)易知最小值大于0，故無(wú)解，當(dāng)時(shí)，對(duì)m分區(qū)間討論即可.

試題解析：（1）時(shí)，則，∴. 時(shí)， ； 時(shí)， ，

∴的單調(diào)增區(qū)間為， 的單調(diào)減區(qū)間為.

（2）時(shí)， ， ，設(shè).

，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，

又，∴的極大值為.

（3）當(dāng)時(shí)，∵，∴，此時(shí)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0.

當(dāng)時(shí)， .

若， ， 無(wú)解；

若， ，即，在上，

在上單調(diào)遞增， 單調(diào)遞減，且時(shí)， ， ，

∴有且僅有一解.

∴當(dāng)時(shí)， 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1.

綜上可得， 時(shí)， 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0；當(dāng)時(shí)， 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1.