Question

8．甲、乙兩人各進(jìn)行3次射擊，甲每次擊中目標(biāo)的概率為$\frac{1}{2}$，乙每次擊中目標(biāo)的概率為$\frac{2}{3}$．
（1）記甲擊中目標(biāo)的次數(shù)為X，求X的概率分布列及數(shù)學(xué)期望E（X）；
（2）求乙至多擊中目標(biāo)2次的概率；  
 （3）求甲恰好比乙多擊中目標(biāo)2次的概率．

Answer 1

分析 （1）由題意得甲擊中目標(biāo)的次數(shù)X為0、1、2、3，根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)公式得到變量對(duì)應(yīng)的概率，從而可得X的分布列和期望；
（2）乙至多擊中目標(biāo)2次的對(duì)立事件是乙能擊中3次，由對(duì)立事件的概率公式得到要求的概率；
（3）甲恰比乙多擊中目標(biāo)2次包含甲恰擊中目標(biāo)2次且乙恰擊中目標(biāo)0次和甲恰擊中目標(biāo)3次且乙恰擊中目標(biāo)1次，且這兩種情況是互斥的，根據(jù)互斥事件的概率公式得到結(jié)果

解答 解：（1）由題意得甲擊中目標(biāo)的次數(shù)ξ為0、1、2、3，
當(dāng)X=0時(shí)表示沒(méi)有擊中目標(biāo)，P（X=0）=${C}_{3}^{0}（\frac{1}{2}）^{3}$=$\frac{1}{8}$，
當(dāng)X=1時(shí)表示擊中目標(biāo)1次，P（X=1）=${C}_{3}^{1}{（\frac{1}{2}）}^{3}$=$\frac{3}{8}$，
當(dāng)X=2時(shí)表示擊中目標(biāo)2次，P（X=2）=${C}_{3}^{2}{（\frac{1}{2}）}^{3}$=$\frac{3}{8}$，
當(dāng)X=3時(shí)表示擊中目標(biāo)3次，P（X=3）=${C}_{3}^{3}{（\frac{1}{2}）}^{3}$=$\frac{1}{8}$，
∴X的概率分布列為

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{8}$

E（X）=0×$\frac{1}{8}$+1×$\frac{3}{8}$+2×$\frac{3}{8}$+3×$\frac{1}{8}$=1.5或E（X）=3×$\frac{1}{2}$=1.5．
（2）乙至多擊中目標(biāo)2次的對(duì)立事件是乙能擊中3次，
乙能擊中3次的概率P=C${\;}_{3}^{3}$（$\frac{2}{3}$）³=$\frac{8}{27}$，
故乙至多擊中目標(biāo)2次的概率為1-C${\;}_{3}^{3}$（$\frac{2}{3}$）³=$\frac{19}{27}$．
（3）設(shè)甲恰好比乙多擊中目標(biāo)2次為事件A，甲恰擊中目標(biāo)2次且乙恰擊中目標(biāo)0次為事件B₁，
甲恰擊中目標(biāo)3次且乙恰擊中目標(biāo)1次為事件B₂，則A=B₁+B₂，B₁、B₂為互斥事件，
P（A）=P（B₁）+P（B₂）=$\frac{3}{8}$×$\frac{1}{27}$+$\frac{1}{8}$×$\frac{2}{9}$=$\frac{1}{24}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，注意滿足獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的條件，解題過(guò)程中判斷概率的類(lèi)型是難點(diǎn)也是重點(diǎn)，屬于中檔題