Question

10．某工廣生產(chǎn)一種無蓋冰激凌紙筒為圓柱形，現(xiàn)一客戶定制該圓柱紙筒，并要求該圓柱紙筒的容積為27πcm³，設(shè)該圓柱紙筒的底面半徑為r，則工廠要求制作該圓柱紙筒的材料最省時，r的值為3cm．

Answer 1

分析 設(shè)底面半徑為r，高為h，則由題意得S=2πrh+πr²=$π（\frac{54}{r}+{r}^{2}）$，由此利用導(dǎo)數(shù)能求出制作該圓柱紙筒的材料最省時，r的值．

解答 解：設(shè)底面半徑為r，高為h，
則由題意得h=$\frac{27}{{r}^{2}}$，
∴S=2πrh+πr²=$π（\frac{54}{r}+{r}^{2}）$，
∴S′=$2πr-\frac{54π}{{r}^{2}}$，
當0＜r＜3時，S′＜0，當r＞3時，S′＞0，
故r=3時，取得極小值，也是最小值，
∴制作該圓柱紙筒的材料最省時，r的值為3．
故答案為：3．

點評 本題考查的知識點是旋轉(zhuǎn)體，導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值，是立體幾何與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，難度中檔．