Question

1．如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB∥CD，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=$\frac{1}{2}$AB=1．
（1）求證：平面PAD⊥平面PCD；
（2）求直線AC與直線PB所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由底面為直角梯形可得CD⊥AD，由PA⊥底面ABCD可得PA⊥CD，故而CD⊥平面PAD，推出平面PAD⊥平面PCD；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出$\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{PB}$的坐標(biāo)，代入向量的夾角公式計(jì)算異面直線所成的角．

解答 證明：（1）∵AB∥CD，∠DAB=90°，∴CD⊥AD，
∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴PA⊥CD，又∵PA?平面PAD，AD?平面PAD，AD∩PA=A，
∴CD⊥平面PAD，∵CD?平面ACD，
∴平面PAD⊥平面PCD．
（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A（0，0，0），B（0，2，0），C（1，1，0），P（0，0，1）．
∴$\overrightarrow{AC}$=（1，1，0），$\overrightarrow{PB}$=（0，2，-1），∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{PB}$=2，|$\overrightarrow{AC}$|=$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{PB}$|=$\sqrt{5}$，
∴cos＜$\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{PB}$＞=$\frac{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{PB}}{|\overrightarrow{AC}|•|\overrightarrow{PB}|}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
∴直線AC與直線PB所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了面面垂直的判定，異面直線所成角的計(jì)算，常用向量法來(lái)解決空間角的計(jì)算問(wèn)題．