1.如圖,已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形,AB∥CD,∠DAB=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=DC=$\frac{1}{2}$AB=1.
(1)求證:平面PAD⊥平面PCD;
(2)求直線AC與直線PB所成角的余弦值.

分析 (1)由底面為直角梯形可得CD⊥AD,由PA⊥底面ABCD可得PA⊥CD,故而CD⊥平面PAD,推出平面PAD⊥平面PCD;
(2)建立空間直角坐標(biāo)系,求出$\overrightarrow{AC},\overrightarrow{PB}$的坐標(biāo),代入向量的夾角公式計(jì)算異面直線所成的角.

解答 證明:(1)∵AB∥CD,∠DAB=90°,∴CD⊥AD,
∵PA⊥平面ABCD,CD?平面ABCD,
∴PA⊥CD,又∵PA?平面PAD,AD?平面PAD,AD∩PA=A,
∴CD⊥平面PAD,∵CD?平面ACD,
∴平面PAD⊥平面PCD.
(2)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),B(0,2,0),C(1,1,0),P(0,0,1).
∴$\overrightarrow{AC}$=(1,1,0),$\overrightarrow{PB}$=(0,2,-1),∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{PB}$=2,|$\overrightarrow{AC}$|=$\sqrt{2}$,|$\overrightarrow{PB}$|=$\sqrt{5}$,
∴cos<$\overrightarrow{AC},\overrightarrow{PB}$>=$\frac{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{PB}}{|\overrightarrow{AC}|•|\overrightarrow{PB}|}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$.
∴直線AC與直線PB所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{10}}{5}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了面面垂直的判定,異面直線所成角的計(jì)算,常用向量法來(lái)解決空間角的計(jì)算問(wèn)題.

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