Question

【題目】已知離心率為的橢圓，與直線交于兩點(diǎn)，記直線的斜率為，直線的斜率為.

(1)求橢圓方程;

(2)若，則三角形的面積是否為定值?若是，求出這個(gè)定值;若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；

（2）是定值且為，詳見解析.

【解析】

（1）根據(jù)題設(shè)可得關(guān)于的方程組，解出后可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為,聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消去后利用韋達(dá)定理化簡可得可得，再利用韋達(dá)定理把面積表示成關(guān)于的代數(shù)式，利用前者化簡可得面積為定值.注意斜率不存在時(shí)的討論.

(1)由題意可知，解得，

所以橢圓方程為.

(2)設(shè)，

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為,

聯(lián)立橢圓方程得，

則，

點(diǎn)到直線的距離，

所以，

由，

化簡得，

整理得到，入上式得.

若直線斜率不存在易算得.

綜上得，三角形的面積是定值.