Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+bx-lnx（a＞0，b∈R）．
（Ⅰ）設(shè)a=1，b=-1，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若對(duì)任意x＞0，f（x）≥f（1）．試比較lna與-2b的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）a=1，b=-1時(shí)，求f（x），f′（x），根據(jù)f′（x）的符號(hào)即可求出f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）由f（x）≥f（1），知x=1是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，所以f′（1）=0，從而得到b=1-2a，-2b=-（2-4a），作差：lna-（-2b）=lna+2-4a，所以構(gòu)造函數(shù)g（x）=lnx+2-4x，通過導(dǎo)數(shù)可求得g（x）≤g（

1

4

）＜0，即g（x）＜0，所以g（a）＜0，所以lna＜-（2-4a）=-2b，即lna＜-2b．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=x²-x-lnx，f′（x）=2x-1-

1

x

=

(x-1)(2x+1)

x

；
∵x＞0，∴

2x+1

x

＞0；
∴0＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，x＞1時(shí)，f′（x）＞0；
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（0，1），單調(diào)增區(qū)間是（1，+∞）；

（Ⅱ）f′（x）=2ax+b-

1

x

，由題意可知，f（x）在x=1處取得最小值，即x=1是f（x）的極值點(diǎn)；
∴f′（1）=0，∴2a+b=1，即b=1-2a；
令g（x）=2-4x+lnx（x＞0），則g′（x）=

1-4x

x

；
∴當(dāng)0＜x＜

1

4

時(shí)，g′（x）＞0，g（x）在（0，

1

4

）上單調(diào)遞增；
當(dāng)x＞

1

4

時(shí)，g′（x）＜0，g（x）在（

1

4

，+∞）上單調(diào)遞減；
∴g（x）≤g（

1

4

）=1+ln

1

4

=1-ln4＜0；
∴g（a）＜0，即2-4a+lna=2b+lna＜0；
故lna＜-2b．

點(diǎn)評(píng)：考查最值的概念，極值的定義，函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，通過構(gòu)造函數(shù)比較兩個(gè)式子大小的方法．