Question

3．若f（x）在[a，b]上連續(xù)，則下列說法正確的是（　�。�

• A． f（x）在[a，b]上可導(dǎo)
• B． ${∫}_{a}^{x}$f（t）dt為f（x）在[a，b]上的一個原函數(shù)：
• C． ${∫}_{x}^$f（t）dt為f（x）在[a，b]上的一個原函數(shù)
• D． f（x）在[a，b]上至少有一個零點(diǎn)

Answer 1

分析 舉反例f（x）=|x|，x∈[-3，3]可說明A錯；可利用微積分基本定理證明B正確，C錯；舉反例f（x）=x，x∈[2，3]可說明D錯．

解答 解：若f（x）=|x|，x∈[-3，3]，
故f（x）在x=0時不可導(dǎo)；故A不正確；
設(shè)f（x）在[a，b]上的一個原函數(shù)為F（x），
則${∫}_{a}^{x}$f（t）dt=F（x）-F（a），
與F（x）只差常數(shù)項(xiàng)，故B正確；
設(shè)f（x）在[a，b]上的一個原函數(shù)為F（x），
則${∫}_{x}^$f（t）dt=F（b）-F（x），故C不正確；
若f（x）=x，x∈[2，3]，故沒有零點(diǎn)，故D不正確．
故選B．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的連續(xù)性與可導(dǎo)，可求積分的關(guān)系的應(yīng)用及函數(shù)是否存在零點(diǎn)的關(guān)系應(yīng)用．