Question

5．如圖所示，在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點，求證：
（1）$\overrightarrow{DF}$∥$\overrightarrow{BC}$；
（2）$\overrightarrow{AE}$+$\overrightarrow{BF}$+$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{0}$．

Answer 1

分析 （1）用$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$表示出$\overrightarrow{DF}，\overrightarrow{BC}$，即可發(fā)現(xiàn)$\overrightarrow{DF}，\overrightarrow{BC}$的倍數(shù)關(guān)系；
（2）用$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{BC}$表示出$\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{BF}，\overrightarrow{CD}$即可得出結(jié)論．

解答 證明：（1）∵D，F(xiàn)分別是AB，AC的中點，∴$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$．
∴$\overrightarrow{DF}$=$\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$．
∴$\overrightarrow{DF}∥\overrightarrow{BC}$．
（2）∵D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點，
∴$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{BF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{CD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}$．
∴$\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{0}$．

點評 本題考查了平面向量加減運算的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．