Question

4．設(shè)直線l₁：（m+1）x-（m-3）y-8=0（m∈R），則直線l₁恒過(guò)定點(diǎn)（2，2）；若過(guò)原點(diǎn)作直線l₂∥l₁，則當(dāng)直線l₁與l₂的距離最大時(shí)，直線l₂的方程為x+y=0．

Answer 1

分析 直線l₁：（m+1）x-（m-3）y-8=0（m∈R），化為：m（x-y）+（x+3y-8）=0，可得$\left\{\begin{array}{l}{x-y=0}\\{x+3y-8=0}\end{array}\right.$，解出可得直線l₁恒過(guò)定點(diǎn)（2，2）．過(guò)原點(diǎn)作直線l₂∥l₁，可設(shè)l₂方程為：（m+1）x-（m-3）y=0，經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)（0，0）與（2，2）的直線方程為：y=x．則當(dāng)直線l₁與l₂的距離最大時(shí)，l₂與直線y=x垂直．即可得出．

解答 解：∵直線l₁：（m+1）x-（m-3）y-8=0（m∈R），化為：m（x-y）+（x+3y-8）=0，可得$\left\{\begin{array}{l}{x-y=0}\\{x+3y-8=0}\end{array}\right.$，解得x=y=2，
則直線l₁恒過(guò)定點(diǎn)（2，2）．
過(guò)原點(diǎn)作直線l₂∥l₁，可設(shè)l₂方程為：（m+1）x-（m-3）y=0，
則經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)（0，0）與（2，2）的直線方程為：y=x．
則當(dāng)直線l₁與l₂的距離最大時(shí)，l₂與直線y=x垂直．
直線l₂的方程為x+y=0．
故答案分別為：（2，2）；x+y=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相互平行與相互垂直的直線的斜率之間的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．