Question

8．設(shè)已知向量$\vec a$=（sinωx，$\sqrt{3}$cosωx），$\vec b$=（cosωx，cosωx），函數(shù)f（x）=$\vec a$•$\vec b$+m（其中ω＞0，m∈R），且f（x）的圖象在y軸右側(cè)的第一個(gè)高點(diǎn)的橫坐標(biāo)為$\frac{π}{12}$．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅲ）如果f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{12}}$]上的最小值為$\sqrt{3}$，求m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則算出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$的值，將函數(shù)進(jìn)行化簡，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得出答案．
（Ⅱ）利用sinx正弦函數(shù)圖象和性質(zhì)，即可得到f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅲ）要求f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{12}}$]上的最小值，首先求出f（x）的范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，建立條件關(guān)系即可，求m的值．

解答 解：∵f（x）=$\vec a$•$\vec b$+m
∴$f（x）=\vec a•\vec b+m$=$sinωxcosωx+\sqrt{3}{cos^2}ωx+m=sin（2ωx+\frac{π}{3}）+\frac{{\sqrt{3}}}{2}+m$，
（Ⅰ）∵f（x）的圖象在y軸右側(cè)的第一個(gè)高點(diǎn)的橫坐標(biāo)為$\frac{π}{12}$．結(jié)合正弦函數(shù)圖象和性質(zhì)可得：$2ω×\frac{π}{12}+\frac{π}{3}=\frac{π}{2}$，解得ω=1
∴所以ω=1
（Ⅱ）由sinx正弦函數(shù)圖象和性質(zhì)可得：$x∈[2kπ+\frac{π}{2}，2kπ+\frac{3π}{2}]$，（k∈Z）是單調(diào)遞減區(qū)間；
∴$2x+\frac{π}{3}∈[2kπ+\frac{π}{2}，2kπ+\frac{3π}{2}]$，（k∈Z）單調(diào)遞減區(qū)間；
解得：f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為$[kπ+\frac{π}{12}，kπ+\frac{7π}{12}]，k∈Z$．
（Ⅲ）∵x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{12}}$]
∴$2x+\frac{π}{3}∈[-\frac{π}{3}，\frac{7π}{6}]$
結(jié)合正弦函數(shù)圖象和性質(zhì)可知：當(dāng)$2x+\frac{π}{3}=-\frac{π}{3}或\frac{7π}{6}$，函數(shù)f（x）取得最小值，且最小值為$\sqrt{3}$
∴$\sqrt{3}=sin（-\frac{π}{3}）+\frac{\sqrt{3}}{2}+m$
解得：$m=\sqrt{3}$

點(diǎn)評 本題主要考查了平面向量的乘法運(yùn)算法則，以及三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，讀懂題意，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題