Question

19．設(shè)f（x）=ax²+bx，且-1≤f（-1）≤2，2≤f（1）≤4．求f（-2）的取值范圍．

Answer 1

分析 設(shè)f（-2）=mf（-1）+nf（1），由二次函數(shù)的解析式，可得a，b的恒等式，解方程可得m=3，n=1，再由不等式的性質(zhì)，即可得到所求范圍．

解答 解：f（x）=ax²+bx，
可得f（-1）=a-b，f（1）=a+b，f（-2）=4a-2b，
設(shè)f（-2）=mf（-1）+nf（1），
則4a-2b=m（a-b）+n（a+b）=（m+n）a+（-m+n）b，
可得$\left\{\begin{array}{l}{m+n=4}\\{-m+n=-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=3}\\{n=1}\end{array}\right.$，
即f（-2）=3f（-1）+f（1），
由-1≤f（-1）≤2，2≤f（1）≤4，
可得-3+2≤3f（-1）+f（1）≤6+4，
即-1≤f（-2）≤10．
則f（-2）的范圍是[-1，10]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的解法和運(yùn)用，注意運(yùn)用待定系數(shù)法和恒等式知識(shí)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．