Question

17．已知F₁、F₂是橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{m}^{2}-1}$=1（m＞1）的左、右焦點(diǎn)，設(shè)橢圓E的離心率為e，若在橢圓E上存在點(diǎn)P使得|PF₁|²+|PF₂|²=4m，則e+$\frac{1}{e}$的取值范圍為（　　）

• A． （2，5]
• B． （$\frac{5}{2}$，3]
• C． （2，$\frac{5}{2}$]
• D． （2，$\frac{5}{2}$）

Answer 1

分析 利用在橢圓E上存在點(diǎn)P使得|PF₁|²+|PF₂|²=4m，結(jié)合橢圓的定義，求出e的范圍，即可求出e+$\frac{1}{e}$的取值范圍．

解答 解：設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，e=$\frac{1}{m}$
∵|PF₁|²+|PF₂|²=4m，
∴由橢圓的定義可得（ex+m）²+（ex-m）²=4m，
∴e²x²=2m-m²，
∵0≤x²≤m²，
∴0≤2m-m²≤1，
∴0≤m≤2，
∵m＞1，e=$\frac{1}{m}$
∴$\frac{1}{2}$≤e＜1，
此時(shí)e+$\frac{1}{e}$單調(diào)遞減，∴2＜e+$\frac{1}{e}$≤$\frac{5}{2}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的定義，以及簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，由橢圓的定義可得$\frac{1}{2}$≤e＜1是解題的關(guān)鍵．