Question

13．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（α＞0，b＞0）的左右焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，|F₁F₂|=2$\sqrt{5}$，點(diǎn)P是雙曲線右支上一點(diǎn)，且$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=10，在△PF₁F₂中，∠PF₁F₂的角平分線與另外兩個(gè)角的外角平分線交于一點(diǎn)Q，Q點(diǎn)橫坐標(biāo)為4，則雙曲線的離心率為（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• B． $\frac{2\sqrt{5}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{10}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{15}}{3}$

Answer 1

分析 利用在△PF₁F₂中，∠PF₁F₂的角平分線與另外兩個(gè)角的外角平分線交于一點(diǎn)Q，Q點(diǎn)橫坐標(biāo)為4，可得|PF₁|+|PF₂|=8，利用$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=10，可得|PF₁||PF₂|cos∠PF₁F₂=10，由余弦定理可得20=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁||PF₂|cos∠PF₁F₂，可得|PF₁|²+|PF₂|²=40，||PF₁|-|PF₂||=4=2a，即可求出雙曲線的離心率．

解答 解：設(shè)△PF₁F₂的旁切圓與PF₁，PF₂，F(xiàn)₁F₂，所在直線切于D，E，M，則DF₁=MF₁=4+c，MF₂=EF₂=4-c，PD=PE，
∴|PF₁|+|PF₂|=8，
∵$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=10，
∴|PF₁||PF₂|cos∠PF₁F₂=10，
由余弦定理可得20=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁||PF₂|cos∠PF₁F₂，
∴|PF₁|²+|PF₂|²=40，
∴|PF₁||PF₂|=12，
∴||PF₁|-|PF₂||=4=2a，
∴a=2，
∵c=$\sqrt{5}$，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率，考查余弦定理，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．