Question

6．函數f（x）=3^2x-a•3^x+2，若x＞0時，f（x）＞0恒成立，則實數a的取值范圍是$a＜2\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 令t=3^x＞0，則f（x）=g（t）=t²-at+2＞0恒成立，即a＜t+$\frac{2}{t}$恒成立．再利用基本不等式求得t+$\frac{2}{t}$的最小值．

解答 解：令t=3^x＞0，則f（x）=g（t）=t²-at+2，
要使x＞0時，f（x）＞0恒成立，只要t＞1時，g（t）=t²-at+2＞0恒成立，
即a＜t+$\frac{2}{t}$恒成立．
由于y=t+$\frac{2}{t}$≥2$\sqrt{2}$，當且僅當t=$\sqrt{2}$時，取等號，故a＜2$\sqrt{2}$，
故答案為：a＜2$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查復合函數的單調性，函數的恒成立問題，基本不等式的應用，屬于中檔題．