Question

20．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，點(diǎn)列（n，S_n）在函數(shù)f（x）=（x+2）²的圖象上，數(shù)列{b_n}滿足：對(duì)任意的正整數(shù)n都有0＜b_n＜a_n，且$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$=2成立，則數(shù)列{b_n}可能的一個(gè)通項(xiàng)公式是b_n=n．

Answer 1

分析 由題意得S_n=（n+2）²，從而可得a_n=$\left\{\begin{array}{l}{9，n=1}\\{2n+3，n≥2}\end{array}\right.$，從而可得b_n=n+c（c為常數(shù)），從而可寫(xiě)出b_n=n．

解答 解：∵點(diǎn)列（n，S_n）在函數(shù)f（x）=（x+2）²的圖象上，
∴S_n=（n+2）²，
∴當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=9，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（n+2）²-（n+1）²=2n+3，
故a_n=$\left\{\begin{array}{l}{9，n=1}\\{2n+3，n≥2}\end{array}\right.$，
∵$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$=2，
∴b_n=n+c（c為常數(shù)）的形式，
又∵0＜b_n＜a_n，
∴b_n=n；
故答案為：b_n=n．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的求法及應(yīng)用，同時(shí)考查了極限的求法及應(yīng)用．