Question

2．已知函數(shù)f（x）=e^x，g（x）=ln（x+1）
（Ⅰ）討論函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）求證當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）g（x）≥x．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出函數(shù)h（x）的導(dǎo)數(shù)，通過討論h′（x）的情況，從而求出h（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）令p（x）=f（x）•g（x）-x，求出函數(shù)p（x）的導(dǎo)數(shù)，通過討論p′（x）的情況，從而證出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）易知h（x）的定義域?yàn)椋?1，+∞），h′（x）=e^x-$\frac{1}{x+1}$，
令φ（x）=e^x-$\frac{1}{x+1}$，則φ′（x）=e^x+$\frac{1}{{（x+1）}^{2}}$，
∵當(dāng)x＞-1時(shí)，φ′（x）＞0，
∴函數(shù)φ（x）在區(qū)間（-1，+∞）上為增函數(shù)，
∴當(dāng)-1＜x≤0時(shí)，φ（x）≤φ（0）=0，即h′（x）≤0，
當(dāng)x＞0時(shí)，φ（x）＞φ（0）=0，即h′（x）＞0，
∴函數(shù)h（x）在區(qū)間（-1，0）上為減函數(shù)，在區(qū)間（0，+∞）上為增函數(shù)；
（Ⅱ）令p（x）=f（x）•g（x）-x，則p（x）=e^xln（x+1）-x，
p′（x）=e^xln（x+1）+$\frac{{e}^{x}}{x+1}$-1，
令s（x）=e^xln（x+1）+$\frac{{e}^{x}}{x+1}$-1，
則s′（x）=e^x$[ln（x+1）+\frac{2x+1}{{（x+1）}^{2}}]$，
∴當(dāng)x≥0時(shí)，e^x＞0，x+1≥1，
∴l(xiāng)n（x+1）≥0，$\frac{2x+1}{{（x+1）}^{2}}$＞0，
∴s′（x）≥0，∴函數(shù)s（x）在區(qū)間（0，+∞）為增函數(shù)，
∴當(dāng)x≥0時(shí)，s（x）≥s（0）=0，∴p′（x）≥0，
∴函數(shù)p（x）在區(qū)間[0，+∞）上是增函數(shù)，
∴當(dāng)x≥0時(shí)，p（x）≥p（0）=0，
即當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）•g（x）≥x成立．

點(diǎn)評 本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，考察導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式是解答問題的關(guān)鍵，本題是一道中檔題．