Question

10．已知圓C₁：x²+y²+6x=0關(guān)于直線l₁：y=2x+1對(duì)稱的圓為C．
（1）求圓C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)（-1，0）作直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)．設(shè)$\overrightarrow{OS}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$，是否存在這樣的直線l，使得四邊形OASB的對(duì)角線相等？若存在，求出所有滿足條件的直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）利用配方法求出圓心坐標(biāo)和半徑，根據(jù)點(diǎn)的對(duì)稱性求出對(duì)稱圓心的坐標(biāo)即可．
（2）根據(jù)向量關(guān)系以及對(duì)角線關(guān)系確定四邊形為矩形，利用向量垂直的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為直線和圓相交的問(wèn)題關(guān)系，利用消元法轉(zhuǎn)化為根與系數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）C₁：x²+y²+6x=0的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+3）²+y²=9，
則圓心為C₁（-3，0）半徑為3，
設(shè)C（x，y），
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{y}{x+3}•2=-1}\\{\frac{y}{2}=2•\frac{x-3}{2}+1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2y=-x-3}\\{y=2x-4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-2}\end{array}\right.$，
即C（1，-2），則關(guān)于直線l₁：y=2x+1對(duì)稱的圓為C的方程為（x-1）²+（y+2）²=9．
（2）過(guò)點(diǎn)（-1，0）作直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)．設(shè)$\overrightarrow{OS}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$，
則四邊形OASB是平行四邊形，
∵四邊形OASB的對(duì)角線相等，
∴四邊形OASB是矩形，
即OA⊥OB，
∵直線過(guò)點(diǎn)（-1，0），是圓C外的一點(diǎn)，
∴直線可設(shè)為斜率式y(tǒng)=k（x+1），
∵OA⊥OB，∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=0，
即x₁x₂+k²（x₁+1）（x₂+1）=0，
即（1+k²）x₁x₂+k²（x₁+x₂）+k²=0，
將y=k（x+1），
代入（x-1）²+（y+2）²=9．
得（x-1）²+（kx+k+2）²=9．
即（1+k²）x²+2（k²+2k-1）x+（k²+4k-4）=0
則x₁x₂=$\frac{{k}^{2}+4k-4}{1+{k}^{2}}$，x₁+x₂=-$\frac{2（{k}^{2}+2k-1）}{1+{k}^{2}}$，
代入（1+k²）x₁x₂+k²（x₁+x₂）+k²=0，
得入 （k²+4k-4）-2k²••$\frac{{k}^{2}+2k-1}{1+{k}^{2}}$+k²=0，
即是（k²+2k-2）-k²••$\frac{{k}^{2}+2k-1}{1+{k}^{2}}$=0，
化簡(jiǎn)后2k-1=1 k=1所以直線的方程是y=x+1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查圓的對(duì)稱性以及直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，利用消元法轉(zhuǎn)化為根與系數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．