2.求方程$\left\{\begin{array}{l}{x=a•co{t}^{3}t}\\{y=a•si{n}^{3}t}\end{array}\right.$,(0≤t≤2π)確定的二階導(dǎo)數(shù)$\frac{amzckmy^{2}y}{d{x}^{2}}$.

分析 先將式子化為$\frac{1fcf2b6^{2}y}{d{x}^{2}}$=$\fracw6twovc{dx}$($\frac{dy}{dx}$)=$\fracer61skc{dt}$($\frac{dy}{dt}$•$\frac{dt}{dx}$)$\frac{dt}{dx}$=$\frac{\frac0tqnkcv{dt}(\frac{dy}{dt}•\frac{dt}{dx})}{\frac{dx}{dt}}$,再將$\frac{dy}{dt}$=3asin2tcost,$\frac{dx}{dt}$=-3acos2tsint,代入即可.

解答 解:根據(jù)參數(shù)方程導(dǎo)數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t,
$\frac{47lykhu^{2}y}{d{x}^{2}}$=$\fracwzmdwdk{dx}$($\frac{dy}{dx}$)=$\fracqzrjq5i{dt}$($\frac{dy}{dt}$•$\frac{dt}{dx}$)$\frac{dt}{dx}$=$\frac{\fracowzl5iz{dt}(\frac{dy}{dt}•\frac{dt}{dx})}{\frac{dx}{dt}}$
因?yàn)?\left\{\begin{array}{l}{x=a•co{t}^{3}t}\\{y=a•si{n}^{3}t}\end{array}\right.$,
所以$\frac{dy}{dt}$=3asin2tcost,$\frac{dx}{dt}$=-3acos2tsint,
原式=$\frac{\fraczcom7ia{dt}(-\frac{sint}{cost})}{-3acos^2t•sint}$=$\frac{\frac{1}{cos^2t}}{3acos^2t•sint}$=$\frac{1}{3acos^4t•sint}$,
所以,$\frac{gi1ex6p^{2}y}{d{x}^{2}}$=$\frac{1}{3acos^4t•sint}$.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了參數(shù)方程的二階導(dǎo)數(shù)的求法,考查了求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t,以及兩函數(shù)積與商的導(dǎo)數(shù),屬于中檔題.

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