Question

2．求方程$\left\{\begin{array}{l}{x=a•co{t}^{3}t}\\{y=a•si{n}^{3}t}\end{array}\right.$，（0≤t≤2π）確定的二階導(dǎo)數(shù)$\frac{dpz7qlf^{2}y}{d{x}^{2}}$．

Answer 1

分析 先將式子化為$\frac{ryng6yf^{2}y}{d{x}^{2}}$=$\fracdbe6ul6{dx}$（$\frac{dy}{dx}$）=$\fracih1vmbu{dt}$（$\frac{dy}{dt}$•$\frac{dt}{dx}$）$\frac{dt}{dx}$=$\frac{\fracr6cy149{dt}（\frac{dy}{dt}•\frac{dt}{dx}）}{\frac{dx}{dt}}$，再將$\frac{dy}{dt}$=3asin²tcost，$\frac{dx}{dt}$=-3acos²tsint，代入即可．

解答 解：根據(jù)參數(shù)方程導(dǎo)數(shù)的鏈式法則，
$\frac{dhareyv^{2}y}{d{x}^{2}}$=$\frack2tkbs1{dx}$（$\frac{dy}{dx}$）=$\frac28kvner{dt}$（$\frac{dy}{dt}$•$\frac{dt}{dx}$）$\frac{dt}{dx}$=$\frac{\fraco1xha6s{dt}（\frac{dy}{dt}•\frac{dt}{dx}）}{\frac{dx}{dt}}$
因為$\left\{\begin{array}{l}{x=a•co{t}^{3}t}\\{y=a•si{n}^{3}t}\end{array}\right.$，
所以$\frac{dy}{dt}$=3asin²tcost，$\frac{dx}{dt}$=-3acos²tsint，
原式=$\frac{\fraccexneup{dt}（-\frac{sint}{cost}）}{-3acos^2t•sint}$=$\frac{\frac{1}{cos^2t}}{3acos^2t•sint}$=$\frac{1}{3acos^4t•sint}$，
所以，$\frac{l16kqod^{2}y}{d{x}^{2}}$=$\frac{1}{3acos^4t•sint}$．

點評 本題主要考查了參數(shù)方程的二階導(dǎo)數(shù)的求法，考查了求導(dǎo)的鏈式法則，以及兩函數(shù)積與商的導(dǎo)數(shù)，屬于中檔題．