12．如圖，四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，DF⊥AC于點E，交AB于點F．求證：AB•DF=AD•BD．

分析 作出四邊形ABCD的外接圓，利用圓的性質證明△ABD∽△ADF，得出結論．

解答 解：∵∠ABC=∠ADC=90°，∴∠BAD+∠BCD=180°
∴四邊形ABCD圓內接四邊形，不妨設四邊形ABCD的外接圓為圓O，則AC為圓O的直徑．
延長DF交圓O于G，
∵DF⊥AC，∴$\widehat{AG}=\widehat{AD}$，∴∠ABD=∠ADG，
又∵∠BAD為公共角．
∴△ABD∽△ADF．
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{BD}{DF}$，
∴AB•DF=AD•BD．

點評 本題考查了圓的性質，相似三角形，屬于中檔題．

練習冊系列答案
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