Question

3．已知二次函數(shù)f（x）=ax²+ax-2b，其圖象過點(diǎn)（2，-4），且f′（1）=-3．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)h（x）=xlnx+f（x），求曲線h（x）在x=1處的切線方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可得f（2）=-4，代入f（x）解析式，求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，代入x=1，解方程可得a=b=-1；
（Ⅱ）求出h（x）的解析式，求得導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，再由點(diǎn)斜式方程可得切線的方程．

解答 解：（Ⅰ）由題意可得f（2）=-4，
即為4a+2a-2b=-4，
又f′（x）=2ax+a，可得f′（1）=3a=-3，
解方程可得a=b=-1；
（Ⅱ）函數(shù)h（x）=xlnx+f（x）
=xlnx-x²-x+2，
導(dǎo)數(shù)h′（x）=lnx+1-2x-1=lnx-2x，
即有曲線h（x）在x=1處的切線斜率為ln1-2=-2，
切點(diǎn)為（1，0），
則曲線h（x）在x=1處的切線方程為y-0=-2（x-1），
即為2x+y-2=0．

點(diǎn)評 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，正確求導(dǎo)和運(yùn)用直線方程的點(diǎn)斜式方程是解題的關(guān)鍵．