Question

13．如圖1．已知拋物線E的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸正半軸上，準(zhǔn)線與y軸的交點(diǎn)為T．過點(diǎn)T作圓C：x²+（y-2）²=1的兩條切線，兩切點(diǎn)分別為D，G，且|DG|=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$
（1）求拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程：
（2）如圖2，過拋物線E的焦點(diǎn)F任作兩條互相垂直線l₁，l₂，分別交拋物線E于P，Q兩點(diǎn)和M，N兩點(diǎn)，A，B分別為線段PQ和MN的中點(diǎn)．求△AOB面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)拋物線的方程為x²=2py（p＞0），|CT|=2+$\frac{p}{2}$，再利用射影定理，即可求拋物線E的方程；
（2）設(shè)l₁：y=kx+1，l₂：y=-$\frac{1}{k}$x+1，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），分別令直線PQ，MN與拋物線E聯(lián)立方程組，求出A點(diǎn)和B點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出|AB|和O到AB的距離，求出△AOB面積，由此利用均值定理能求出△AOB面積的最小值．

解答 解：（1）設(shè)拋物線的方程為x²=2py（p＞0），|CT|=2+$\frac{p}{2}$
設(shè)CT與DG交于E，則CE=$\sqrt{1-\frac{8}{9}}$=$\frac{1}{3}$，
∴1=$\frac{1}{3}$（2+$\frac{p}{2}$），
∴p=2，
∴拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為x²=4y；
（2）根據(jù)題意得l₁，l₂斜率存在
設(shè)l₁：y=kx+1，l₂：y=-$\frac{1}{k}$x+1
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，可得x²-4kx-4=0，
∴x₁+x₂=4k，∴y₁+y₂=4k²+2，
∴A（2k，2k²+1）
同理可得B（-$\frac{2}{k}$，$\frac{2}{{k}^{2}}$+1）
∴直線AB的方程為y-（2k²+1）=（k-$\frac{1}{k}$）（x-2k），即（k-$\frac{1}{k}$）x-y+4=0，
∴O到AB的距離d=$\frac{4}{\sqrt{{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}-1}}$，
∵|AB|=2|k+$\frac{1}{k}$|$\sqrt{{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}-1}$，
∴△AOB面積S=$\frac{1}{2}$|AB|d=4|k+$\frac{1}{k}$|≥8，
當(dāng)且僅當(dāng)k=±1時(shí)，△AOB面積的最小值為8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線方程的求法，考查三角形面積的最小值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意均值定理的合理運(yùn)用．