Question

12．已知△ABC的外心為O，重心為G，且|AB|=4，|AC|=2，則$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AG}$的值是$\frac{10}{3}$．

Answer 1

分析 根據題意，利用數量積的定義求出$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AC}$的值，用$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{AC}$表示向量$\overrightarrow{AG}$，即可求出$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AG}$的值．

解答 解：△ABC中，外心為O，且|AB|=4，|AC|=2，
如圖所示：
$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}$${|\overrightarrow{AB}|}^{2}$=$\frac{1}{2}$×4²=8，
同理，$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{2}$${|\overrightarrow{AC}|}^{2}$=$\frac{1}{2}$×2²=2；
又G是△ABC的重心，
∴$\overrightarrow{AG}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AM}$=$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），
∴$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AG}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{3}$×8+$\frac{1}{3}$×2=$\frac{10}{3}$．
故答案為：$\frac{10}{3}$．

點評 本題考查了平面向量的運算問題，解題時應結合幾何圖形的性質，確定向量之間的關系，再利用數量積和三角形的定理求出結論，是綜合性題目．