Question

如圖1，AB、AC是⊙O的切線，B、C為切點，ADE是⊙O的割線．

（1）求證：CD•AE=AB•CE；
（2）在圖1中，使線段AC繞A旋轉(zhuǎn)，得到圖2，（1）的結(jié)論還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，說明你的理由．

Answer 1

考點：圓內(nèi)接多邊形的性質(zhì)與判定,與圓有關(guān)的比例線段

專題：立體幾何

分析：（1）由已知得AB=AC，∠ACD=∠AEC，∠DAC=∠CAE，從而△ADC∽△ACE，由此能證明CD•AE=AB•CE．
（2）使線段AC繞A旋轉(zhuǎn)，得到圖2，（1）的結(jié)論不成立．旋轉(zhuǎn)之后，∠ACD=∠AEC不一定成立，△ADC∽△ACE不成立，從而CD•AE=AB•CE不成立．

解答： （1）證明：∵AB、AC是⊙O的切線，B、C為切點，
∴AB=AC，∠ACD=∠AEC，∠DAC=∠CAE，
∴△ADC∽△ACE，
∴

AE

AC

=

CE

CD

，
∴CD•AE=AC•CE，
∴CD•AE=AB•CE．
（2）解：使線段AC繞A旋轉(zhuǎn)，得到圖2，（1）的結(jié)論不成立．
∵旋轉(zhuǎn)之后，AB=AC，∠DAC=∠CAE，
但∠ACD=∠AEC不一定成立，
∴△ADC∽△ACE不成立，
∴CD•AE=AB•CE不成立．

點評：本題考查線段乘積相等的證明，考查旋轉(zhuǎn)后線段乘積是否相等的判斷，是中檔題，解題時要注意弦切角性質(zhì)和切線性質(zhì)的合理運(yùn)用．